高考数学微专题10 导数解答题之零点问题（解析版）

微专题10导数解答题之零点问题秒杀总结1.函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.求解步骤：第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.例1．（第21讲零点问题之一个零点-突破2022年新高考数学导数压轴解答题精选精练）已知函数．(1)求曲线在点，处的切线方程；(2)当时，求的单调区间；(3)当时，在区间有一个零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(3)【解析】【分析】（1）求出函数在处的导数值，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（2）求出函数导数并判断正负即可得出单调区间；（3）转化为，构造函数，利用导数判断函数单调性即可求出.(1)，所以，又，所以在，处的切线方程：，即．(2)当时，，，所以在，上，，单调递增，在，，，上，，单调递减，所以单调递增区间为，，单调递减区间为，，，．(3)当时，令，得，所以，令，，，当，时，，，即，所以在，上单调递增，又，，若在区间有一个零点，则，故的取值范围，．例2．（吉林省长春市东北师范大学附属中学2021-2022学年高三上学期第三次摸底考试理科数学试题）已知函数，为的导数.(1)若为的零点，试讨论在区间的零点的个数；(2)当时，，求实数m的取值范围.【答案】(1)两个(2)【解析】【分析】（1）由题意得到，先得到，再由时，设，则，分、和三种情况讨论，即可求解；（2）当时，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.(1)解：由题意，函数，可得，因为为的零点，所以，即，从而，①因为，所以0是的零点；②当时，设，则，（ⅰ）若，令，则，所以在单调递减，因为，所以存在唯一的，使得，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；（ⅱ）若，令，则，故在上单调递减，所以.又，所以在上单调递减；（ⅲ）若，则在上单调递减.由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）可得，在上单调递增，在上单调递减，因为，所以存在唯一使得.当时，，在上单调递增，，当时，，在上单调递减，因为，所以在上有且只有一个零点.综上可得，在上有两个零点.(2)（2）当时，，则不等式化为，即为.令，则当时，，在单调递增，且，故时满足题意；当时，令，则在有无数零点所以存在最小的一个，使，则在单调递增，所以，即，所以，使，所以，故不满足题意，舍去.当时，因为，所以，令，，不满足题意，舍去.综上可得，，即实数的取值范围是.例3．（湖南省长沙市雅礼中学2021-2022学年高三上学期月考（四）数学试题）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：有且仅有个零点.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】（1）、求出，将代入即可求出切线斜率，再确定切点，然后利用点斜式即可求出切线方程；（2）、先求出，令，确定的单调性和正负，确定的单调性及正负，从而得出零点个数.(1)，，，又，在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线有程为.(2)，，令，，①、当时，，，在上单调递增，又，时，时，在上单调递减，又，是在上的唯一零点；②、当时，，，在上单调递减，又，，在上有唯一零点，其中，当时，,在上单调递增;当时，,在上单调递减;而，，使，当时，,，在上单调递增;当时，,，在上单调递减;而，，时，，在上无零点；③、当时，，，在上单调递减，，在上单调递减;又，时，在上单调递减;而，在上有一个零点；④、当时，，，，在上无零点；综上所述：有且仅有个零点.例4．（黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校2021-2022学年高三上学期第二次校内检测数学（理）试题）已知，是的极值点（其中是自然对数的底数）.(1)求的值；(2)讨论函数在的零点个数.（参考数据：）.【答案】(1)1；(2)2个﹒【解析】【分析】(1)求导得，易知(1)，从而求得的值．(2)，，第一次构造函数，易证在上单调递增，由于，，故，使得，且可推出在上的单调性，从而得；第二次构造函数，，再次借助导数和隐零点的思维，证明即在上成立，进而确定函数的零点个数．(1)，，是的极值点，(1)，解得．(2)由(1)知，，，令，则在上恒成立，在上单调递增．又，，，使得，即，当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增．．令，，则恒成立，在上单调递减，又，，，使得当，时，，即成立．，，故在上有2个零点．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和零点问题，需要多次构造函数，且涉及隐零点的思维，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．过关测试1．（江苏省南通市如皋、镇江市2021-2022学年高三上学期期末联考数学试题）设f(x)＝xex－mx2，m∈R.(1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性；(2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出，分、、、讨论的单调性即可；（2）令得，代入两式相除得，，设，令求出，反解出，则，即证，等价于证明：，构造函数，利用导数求出单调性可得答案.(1)，，时，，当时，是单调递增函数，当时，是单调递减函数；时，令，得，当即时，或时，是单调增函数，时，是单调递减函数，当即时，或时，是单调增函数，时，是单调递减函数，当即时，，在上是单调增函数，综上所述时，在是单调递增函数，在上是单调递减函数；时，在，上是单调增函数，在是单调递减函数，时，在，上是单调增函数，在是单调递减函数，时，在上是单调增函数.(2)令，因为，所以，令，，两式相除得，，①不妨设，令，则，，代入①得：，反解出：，则，故要证即证，又因为，等价于证明：，构造函数，则，，故在上单调递增，，从而在上单调递增，.即.2．（考点12导数与不等式，函数零点等-2021年新高考数学一轮复习考点扫描）已知函数，.（1）当，且时，证明：；（2）定义，设函数，试讨论零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）即证：当时，；当时，.令，则在上单调递增，在上单调递增.即得解；（2）对分三种情况讨论，得时，有两个零点；时，仅有一个零点.【详解】（1）当时，，要证：即转化为：，即即证：当时，；当时，令，则则在上单调递增，在上单调递增.所以当时，，此时当时，，此时故，且时，（2）1°当时，，，所以在无零点；2°当时，，则，所以是的零点；3°当时，，所以在上无零点，在上的零点个数即为在上的零点个数.因为①若时，，所以在上单调递增，，此时无零点；②若时，则，在上单调递增，在上单调递减，由，令，则，当时，，由，可得，则，又因为.由零点存在性定理可知，在上存在唯一的零点，且.综上：时，有两个零点；时，仅有一个零点.【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式和求函数的最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．（湖南省常德市部分重点中学2019-2020学年高三上学期10月联考文科数学试题）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）用表示中的最大值，设函数，讨论零点的个数.【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在单调递增；(2)当时，在上无零点；当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点.【解析】【分析】（1）对参数进行分类讨论，即可由导数的正负判断函数的单调性；（2）根据的定义，利用导数分区间讨论在上的零点分布情况.【详解】（1），故可得，当时，在上恒成立，故此时在上单调递增；当时，令，解得，故容易得在区间上单调递减，在单调递增.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在单调递增.（2）①当时，，，显然此时没有零点；②当时，，若，，故是的零点；若，，故不是的零点；③当时，，所以在上的零点个数，即为在上的零点个数.在上的零点个数，等价于在上实数根的个数.令，故可得，故容易得在区间单调递减，在单调递增.且.故当或时，在没有零点；当或，在有一个零点；当时，在有个零点.综上所述：当时，在上无零点；当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及求解函数零点的个数，属综合困难题.4．（广西玉林市2022届高三上学期教学质量监测数学（理）试题）已知函数.(1)若存在零点，求实数的取值范围；(2)若是的零点，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）分离参数得，构造函数利用导数研究其单调性和值域，结合题意，则问题得解；（2）根据（1）中所求，将所证不等式转化为证明，分别构造函数，利用导数研究函数单调性，进而证明不等式恒成立即可.(1)令变形得，令，问题转化成与有交点.令，解得，则在上单调递增，在上单调递减，且，故，所以.故实数的取值范围；(2)证明：由题意可得，，得，要证，即证..先证，只需让，令，.所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以，左边证毕.再证，即证：令，，所以在上单调递增，在上单调递减，故；令，，令，，令，解得，故在单调递增，.即在恒成立.令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，故.因为，所以，即，故，右边证毕.综上所述：.【点睛】本题考察利用导数研究函数单调性和恒成立问题；其中第一问中，对函数进行分离参数是解决问题的关键；第二问中，在证明时，将其转化为证明，是较好的一种处理手段；本题综合考察学生的计算能力，对导数的综合使用能力，属压轴题.5．（江西省景德镇市2022届高三第二次质检数学（文）试题）已知函数.(1)求函数在处切线的斜率；(2)求证：有且只有一个零点，且满足.参考数据：【答案】(1)(2)见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可得出答案；（2）要证，只需证明即可，利用导数判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得出结论.(1)解：由，得，则，即函数在处切线的斜率为；(2)证明：由（1）得：，令，，则，令，则，因为，所以在上恒成立，所以，所以函数在上递增，所以，所以函数在上递增，所以，即，所以，所以函数是上的增函数，又，，所以有且只有一个零点，且，所以有且只有一个零点，且满足.【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数解决跟零点有关的问题，及不等式的证明问题，考查了数据分析能力，有一定的难度.6．（北京市密云区2022届高三上学期期末考试数学试题）已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若函数有两个不同的零点，记较大的零点为，证明：当时，．【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）求出、，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；（3）分析可得，将所证不等式等价变形为对任意的恒成立，构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，即可证得结论成立.(1)解：因为，则，所以，，，因此，曲线在点处的切线方程，即.(2)解：函数的定义域为，且.当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，由，可得.当时，；当时，.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)证明：由可得，因为函数有两个不同的零点，且较大的零点为，则，要证对任意的恒成立，即证对任意的恒成立，构造函数，其中，则，所以，函数在上单调递减，所以，，因为，则，即，故原不等式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.7．（辽宁省大连市2021-20