2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（二） - 解析

2024年度高三寒假新结构适应性测试模拟试卷（二）数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．(2023·江苏扬州中学适应性考试)已知z－2eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋6i，则z的虚部为( )A．－6 B．－6iC．2 D．2i答案 C解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，因为z－2eq\o(z,\s\up6(－))＝1＋6i，即有(a＋bi)－2(a－bi)＝1＋6i，整理得－a＋3bi＝1＋6i，解得a＝－1，b＝2，所以z的虚部为2.故选C.2．(2023·福建福州一中适应性考试二)已知集合S，T满足S∪(∁RT)＝R，S＝{0，1，2，4}，则T可能是( )A．{0，1，2，4} B．{0，1，2，3}C．{1，2，3，4} D．{0，1，2，4，5}答案 A解析 由S∪(∁RT)＝R，得∁RS⊆∁RT，进而T⊆S，因为S＝{0，1，2，4}，所以T可能是{0，1，2，4}．故选A．3．(2023·重庆三模)从小到大排列的数据1，2，3，x，4，5，6，7，8，y，9，10的第三四分位数为( )A．3 B．eq\f(3＋x,2)C．8 D．eq\f(8＋y,2)答案 D解析 ∵12×75%＝9，∴该组数据的第三四分位数为eq\f(8＋y,2).故选D.4．(2023·湖南郴州三模)已知函数f(x)＝nx＋lnx(n∈N*)的图象在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))))处的切线的斜率为an，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,anan＋1)))的前n项和Sn为( )A．eq\f(n,4（n＋1）) B．eq\f(1,n＋1)C．eq\f(3n2＋5n,2（n＋1）（n＋2）) D．eq\f(3n2＋5n,8（n＋1）（n＋2）)答案 A解析 由题意得f′(x)＝n＋eq\f(1,x)，则an＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＝2n，所以eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,2n（2n＋2）)＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，所以Sn＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n＋1)))＝eq\f(n,4（n＋1）).故选A.5．(2023·河南豫南名校三模)已知直线l：4x－2y－7＝0与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于点A，B(不重合)，AB的垂直平分线过点(3，0)，则双曲线C的离心率为( )A．eq\f(2\r(3),3) B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)答案 D解析 因为直线l：4x－2y－7＝0，所以kl＝2，由题意可知AB的垂直平分线的方程为y＝－eq\f(1,2)(x－3)，将y＝－eq\f(1,2)(x－3)与4x－2y－7＝0联立，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝\f(1,2)，))即AB的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2))).设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(2,1),a2)－\f(yeq\o\al(2,1),b2)＝0，,\f(xeq\o\al(2,2),a2)－\f(yeq\o\al(2,2),b2)＝0，))且x1＋x2＝4，y1＋y2＝1，两式作差可得eq\f(（x1＋x2）（x1－x2）,a2)－eq\f(（y1＋y2）（y1－y2）,b2)＝0，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2,a2)，所以eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2)，所以双曲线C的离心率为eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),2).故选D.6．(2023·浙江9＋1联盟期中)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，所有棱长为4，∠DAB＝eq\f(π,3)，∠BAA1＝eq\f(2π,3)，以A为圆心，2为半径分别在平面ABCD和平面ABB1A1内作弧eq\o(MN,\s\up8(︵))，eq\o(NE,\s\up8(︵))，点M，N，E分别在AD，AB，AA1上，并将两弧各六等分，等分点依次为P1，P2，P3，P4，P5以及Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，如图，一只蚂蚁欲从点P2出发，沿平行六面体表面爬行至Q4，则其爬行的最短距离为( )A．eq\f(4π,3) B．2eq\r(3)C．2 D．eq\r(6)－eq\r(2)答案 B解析 如图，将四边形ABB1A1和四边形ABCD沿AB展开，使得两四边形在同一平面，连接P2Q4，则线段P2Q4的长度即为蚂蚁爬行的最短距离．因为P2，Q4分别为弧eq\o(MN,\s\up8(︵))，eq\o(NE,\s\up8(︵))的六等分点，且∠DAB＝eq\f(π,3)，∠BAA1＝eq\f(2π,3)，所以∠BAP2＝eq\f(2π,9)，∠BAQ4＝eq\f(4π,9)，所以∠P2AQ4＝eq\f(2π,3)，又AP2＝2，所以P2Q4＝2×2×coseq\f(π,6)＝2eq\r(3)．故选B.7．(2023·吉林第四次调研)在我国古代，杨辉三角(如图1)是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：Ceq\o\al(1,1)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋…＋Ceq\o\al(1,n)＝Ceq\o\al(2,n＋1)，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为( )A．2Ceq\o\al(3,2023)－2 B．2Ceq\o\al(3,2024)－2C．Ceq\o\al(4,2024)－2 D．Ceq\o\al(4,2023)－2答案 B解析 由杨辉三角中观察可得1＋3＋6＋10＝20，推广得Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,n＋1)＝Ceq\o\al(3,n＋2)，即eq\f(1×2,2)＋eq\f(2×3,2)＋eq\f(3×4,2)＋…＋eq\f(n（n＋1）,2)＝Ceq\o\al(3,n＋2)，则2021层“刍童垛”圆球的总个数为S＝2×3＋3×4＋4×5＋…＋2022×2023＝2(Ceq\o\al(3,2024)－1)．故选B.8．(2023·湖南名校适应性测试)定义在正整数上的函数满足f(k＋2)＝eq\r(3)f(k＋1)－f(k)(k∈N*)，则f(65)＝( )A．f(1) B．f(3)C．f(5) D．f(7)答案 C解析 ∵f(k＋2)＝eq\r(3)f(k＋1)－f(k)(k∈N*)，∴f(k＋3)＝eq\r(3)f(k＋2)－f(k＋1)＝eq\r(3)[eq\r(3)f(k＋1)－f(k)]－f(k＋1)＝2f(k＋1)－eq\r(3)f(k)，∴f(k＋4)＝2f(k＋2)－eq\r(3)f(k＋1)＝2[eq\r(3)f(k＋1)－f(k)]－eq\r(3)f(k＋1)＝eq\r(3)f(k＋1)－2f(k)，则f(k＋4)＝f(k＋2)－f(k)，∴f(k＋6)＝f(k＋4)－f(k＋2)＝－f(k)，∴f(k＋12)＝－f(k＋6)＝f(k)，∴函数的周期T＝12，f(65)＝f(12×5＋5)＝f(5)．故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.(2023·广东深圳调研)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD＝2，E是BC的中点，则( )A．eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2) B．eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))答案 ABC解析 如图建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).对于A，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))＝－eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)＝－eq\f(1,2)，故A正确；对于B，eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(2，0)－eq\f(1,2)(0，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，故B正确；对于C，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，1)·(－1，1)＝0，故C正确；对于D，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))，eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(2，0)－eq\f(1,2)(0，1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))