高三数学开学摸底考（新高考七省）（考试版）A4

2024届高三下学期开学摸底考（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．2．若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在等比数列中，成等差数列，则（    ）A．3 B． C．9 D．4．放射性物质的半衰期的定义为：每经过时间，该物质的质量会衰减成原来的一半．由此可知，，其中为初始时物质的质量，为经过的时间，为半衰期，为经过时间后物质的质量．若某铅制容器中有，两种放射性物质，半衰期分别为，，开始时这两种物质的质量相等，100天后测量发现物质的质量为物质的质量的四分之一，则（    ）A． B． C．50 D．255．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．46．已知向量，，则向量与夹角的余弦值为（    ）A． B． C． D．7．已知体积为的正四棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积的最小值为（    ）A． B． C． D．8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知，都是正数，且，则下列说法正确的是（    ）．A．的最大值为 B．的最小值为C．的最小值为 D．的最大值为10．已知由样本数据（）组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则（    ）A．相关变量，具有正相关关系B．去除异常数据后，新的平均数C．去除异常数据后的经验回归方程为D．去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小11．已知圆锥（是底面圆的圆心，是圆锥的顶点）的母线长为，高为.若、为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（    ）A．三角形面积的最大值为B．三棱锥体积的最大值C．四面体外接球表面积最小值为D．直线与平面所成角余弦值最小值为12．已知双曲线的离心率为，，是双曲线的两个焦点，经过点直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线与双曲线交于，两点，若的面积为，则（    ）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的实轴长为C．线段的长为 D．是直角三角形第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知的二项式系数和为256，则展开式中含项的系数为．14．已知，，则.15．已知圆与圆有3条公切线，则的值为．16．设函数，若不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（1）求；（2）若D是边上一点，，且，求的面积，18．（12分）已知数列是数列的前项和，已知对于任意，都有，数列是等差数列，，且成等比数列.（1）求数列和的通项公式.（2）记，求数列的前项和.（3）记，求.19．（12分）如图，在多面体中，四边形是矩形，，平面，为的中点，，．（1）证明：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值．20．（12分）直播带货是一种直播和电商相结合的销售手段，目前已被广大消费者所接受．针对这种现状，某公司决定逐月加大直播带货的投入，直播带货金额稳步提升，以下是该公司2023年前5个月的带货金额：月份12345带货金额/万元350440580700880（1）求变量，之间的线性回归方程，并据此预测2023年7月份该公司的直播带货金额．（2）该公司随机抽取55人进行问卷调查，得到如下不完整的列联表：参加过直播带货未参加过直播带货总计女性2530男性10总计请填写上表，并判断是否有90%的把握认为参加直播带货与性别有关．参考数据：，，，，．参考公式：线性回归方程的斜率，截距．附：，其中．0.150.100.050.0252.0722.7063.8415.02421．（12分）在椭圆：（）中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆：上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆过，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的蒙日圆上一点，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点，若，存在．证明：为定值．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若且，求证：．