专题02 解三角形大题（解析版）

专题02解三角形大题解题秘籍正弦定理基本公式：（其中为外接圆的半径）变形三角形中三个内角的关系，，余弦定理边的余弦定理，，角的余弦定理，，射影定理，，角平分线定理在中，为的角平分线，则有张角定理三角形的面积公式倍角定理在中,三个内角的对边分别为,(1)如果,则有:(2)如果,则有:(3)如果,则有:倍角定理的逆运用在中,三个内角A、B、C的对边分别为,(1)如果,则有:。(2)如果,则有:。(3)如果,则有:。中线长定理为的中线,则中线定理:证明:在和中,用余弦定理有:三角恒等式在中，①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩模拟训练一、解答题1．（23·24上·宁波·一模）在中，角、、所对的边分别为、、，已知.(1)证明：；(2)若，，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出的取值范围，可得出，即可证得结论成立；（2）由可求得的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）证明：因为，由正弦定理得，即，即，故，因为、，所以，则，所以，，所以，或（舍），因此.（2）解：因为，故，由，因为，故，所以.2．（22·23·唐山·二模）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b．c．已知．(1)求A；(2)若，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦函数的单调性进行求解即可；（2）利用余弦定理，结合基本不等式、三角形面积公式进行求解即可.【详解】（1）由正弦定理得，因为，所以，故．因为，所以，，    函数在上单调递减，则，解得；（2）由余弦定理，    得，即，当且仅当时取等号，故面积的最大值为．3．（23·24上·永州·一模）在中，设所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)若的内切圆半径，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得的值，即可得答案；（2）利用余弦定理得，配方得，再结合的内切圆半径，利用等面积法推出，即可求得，从而求得答案.【详解】（1）在中，由得，即,故，由于，故，而，故.（2）由可得，而，故，则，由的内切圆半径，可得，即，即，故，解得，故的面积.4．（22·23·东莞·三模）在中，内角，，所对的边分别为，，.已知.(1)求角的大小；(2)设，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）运用正弦定理求解；（2）运用两角差公式求解.【详解】（1）在中，由正弦定理得：，因为，所以，可得，即，，又，可得；（2）在中，由余弦定理得：，由，以及，可得，因为，所以A是锐角，所以，因此，，所以，，综上，，.5．（22·23·张家口·三模）在中，内角的对边分别为.(1)若，求的面积；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得，代入，得，再根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式可得结果.（2）根据余弦定理得，再切化弦，利用两角和的正弦公式、正弦定理变形可得结果.【详解】（1）因为，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.（2）由，得，得，所以，所以，所以.6．（22·23下·苏州·三模）在中，，点在边上，且，.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)6(2)75【分析】（1）根据已知可推得，设，即可得出，进而得出答案；（2）设，根据直角三角形以及两角和的正切公式，即可得出，进而求出，根据三角形面积公式，即可得出答案.【详解】（1）  由题意知，.设，所以.在中，，所以，从而.（2）设，在中，，在中，，所以.在中，由，得，所以，从而的面积为.7．（22·23下·江苏·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若点D在边BC上，，，，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理边化角可得，，然后化简即可得出.根据的范围即可得出答案；（2）设，则，然后在和中，根据余弦定理推得.在中，由余弦定理可得.联立可解得，，然后根据面积公式即可得出答案.【详解】（1）由正弦定理边化角可得，，整理可得，.因为，，所以有，所以.因为，所以.（2）设，则，在中，有.在中，有.又，所以，所以有.又，所以.在中，由余弦定理可得.又，，，所以有.联立，解得，所以，所以，.8．（22·23下·浙江·二模）记的内角的对边分别为，已知.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法1：由可得，由正弦定理和余弦定理将等式边化角即可求出；解法2：由正弦定理可得，结合两角和的正弦公式、二倍角的正弦和余弦公式，化简可得，再由余弦定理代入即可求出；（2）由可得，再由余弦定理即可求出；解法2：由正弦定理边化角化简已知表达式可得，再结合两角和的正弦公式，二倍角的正弦和余弦公式化简即可求出.【详解】（1）解法1：代入，得.解法2：由正弦定理可得：：代入化简，则，则，因为，所以，解得：；由余弦定理可得：，代入化简得，解得（负值舍）.（2）解法1：，，又所以.解法2：因为，所以，代入，，，因为，则，化简：，当时，则，则，舍去不满足题意；当时，则，因为，所以.9．（22·23·福州·三模）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.(1)求B；(2)D为AC的中点，,求的面积.【答案】(1)(2)或,【分析】（1）由诱导公式化简，再应用正弦定理，最后由余弦即可求出.（2）由D为AC的中点，求出关系,可得，最后求出面积即可.【详解】（1）（2）D为AC的中点，,,,,,或,当时,，时,所以的面积为或.10．（22·23下·湖北·二模）记的内角的对边分别为，设的外接圆半径为，且.(1)求；(2)若，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、三角变换公式可得，故可求.（2）利用余弦定理可求，利用公式可求.【详解】（1）因为，故，整理得到即,所以，而，故.（2）由余弦定理可得，故，解得，故.11．（22·23下·武汉·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，．(1)求；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角函数的平方关系与角的范围分别计算，的值，根据利用两角和的正弦公式代入计算即可；（2）利用正弦定理计算，再由三角形面积公式计算面积.【详解】（1）因为，，所以，又因为，，所以，故，所以．（2）由正弦定理可知：，代入已知条件得，解得，所以的面积为12．（22·23·广州·三模）在△中，角的对边分别为，且，，设与的夹角为．(1)当时，求及△的面积；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求函数的最大值与最小值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)，(2)条件选择见解析，最大值为，最小值为0【分析】（1）利用余弦定理可直接求，利用面积公式求解面积；（2）先化简，选择条件①时，根据得出的范围即可求解函数的范围；选择条件②时，根据得出的范围即可求解函数的范围.【详解】（1）由余弦定理得，，所以，△的面积．（2）．选择条件①：因为，所以，所以，，即.故，．选择条件②：因为，，所以，故．所以，，即.故，．13．（22·23·宁德·一模）在①；②这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答.问题：已知分别为内角的对边，是边的中点，，且______.(1)求的值；(2)若的平分线交于点，求线段的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选择①，利用余弦定理列方程组可求，选择②，利用正弦定理及两角和差公式求角，再用余弦定理列方程组可求；（2）先求角，再利用三角形面积公式及等面积法即可求出线段的长.【详解】（1）选择①：设，则，在中，，在中，，因为，所以，即，所以，故．选择②：由正弦定理得，，因为，所以，所以，即，于是，因为，所以，设，，在中，，即（i），在中，，即（ii），联立（i）（ii）解得，，，即，．（2）选择①：由条件及小问（1）可知，，，，则，因为，所以，由题意得，，因为是的平分线，所以，所以.选择②：由小问（1）可知，，由题意得，，因为是的平分线，所以，所以.14．（22·23下·长沙·二模）已知向量（，），（，），.(1)求函数的最大值及相应x的值；(2)在△ABC中，角A为锐角且，，BC=2，求的面积.【答案】(1)，时，取最大值；(2).【分析】（1）由平面向量的数量积运算，三角函数恒等变换可得的解析式，利用正弦函数的性质可求的最大值及相应的值；（2）由（1）及角A的范围可求角A，进而求出角B，角C，再由正弦定理可得AC的边长值，代入三角形面积公式即可求解.【详解】（1）依题意，，即，所以，当，即，时，取最大值；（2）由（1）及得：，即，由，则，因此，，则，而，有，所以，在中，由正弦定理得，，，所以的面积为.15．（23·24上·郴州·一模）已知向量，，函数.(1)若，求的值；(2)已知为锐角三角形，，，为的内角，，的对边，，且，求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量共线定理可得，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式的应用可得解；（2）根据向量数量积公式可得，进而可得，再利用正弦定理和面积公式可将三角形面积转化为三角函数求值域问题，确定自变量范围，即可得解.【详解】（1），，则；；（2），又，所以，，得，即，因为，所以，所以，所以，解得，则故，即面积的取值范围为.16．（22·23下·河北·三模）在中，角的对边分别为，且．(1)判断的形状；(2)若，点分别在边上，且，求的面积．【答案】(1)是直角三角形(2)【分析】（1）利用余弦定理化角为边，整理即可得出结论；（2）根据求解即可.【详解】（1）因为，由正弦定理得，化简得，所以是直角三角形；（2）由（1）得，因为，所以，则，因为，所以，,,，，所以.17．（22·23·邯郸·二模）已知条件：①；②；③.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____.(1)求角C的大小；(2)若，与的平分线交于点I，求周长的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）选①：利用余弦定理即可求解；选②：利用二倍角正弦、正弦定理边化角求解；选③：利用二倍角余弦公式计算即可；（2）根据给定条件，结合（1）的结论求出，再利用正弦定理结合三角恒等变换即可求解.【详解】（1）选择条件①，，在中，由余弦定理得，整理得，则，又，所以；选择条件②，，于是，由正弦定理得，因为，则，即，因为，因此，即，又，所以；选择条件③，，则，所以，则，又，即有，则，所以；（2）由（1）知，，有，而与的平分线交于点I，即有，于是，  设，则，且，在中，由正弦定理得，所以，，所以的周长为，由，得，则当，即时，的周长取得最大值，所以周长的最大值为.18．（22·23·沧州·三模）在中，角A，，所对的边分别为，，，，，且的面积为.若，边上的两条中线，相交于点，如图所示.  (1)求的余弦值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角为边，结合三角形面积公式及已知可求得，求得，再利用余弦定理求得，从而可得，由勾股定理求得，再由余弦定理计算出；（2）是的重心，由此可得，从而得出结论．【详解】（1）已知，由正弦定理，得，由，得，由的面积，得，相除得，又，故，由，，得，，由余弦定理得，即，，在中，，，，满足，所以为直角三角形，.在中，，，所以.（2）在中，为边上的中线，所以，由，分别为边，上的中线可知为的重心，可得，，所以.19．（22·23·盐城·一模）已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值【答案】(1)(2)最大值为【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解.【详解】（1）由题意知.所以，所以，所以，因为，所以，所以，因为，所以，由角，所以.（2）由（1）知，所以，，因为，所以，由正弦定理得：，所以，因为，所以，所以，因为为锐角三角形，