专题10 数列小题（原卷版）

专题10数列小题解题秘籍等差数列通项公式：或等差中项：若，，三个数成等差数列，则，其中叫做，的等差中项若，为等差数列，则，仍为等差数列等差数列前n项和公式：或等差数列的前项和中，，（为奇数）等比数列通项公式：等比中项：若，，三个数成等比数列，则,其中叫做，的等比中项若，为等比数列，则，仍为等比数列等比数列前项和公式：已知与的关系分组求和若为等差数列，为等比数列，则可用分组求和裂项相消求和模拟训练一、单选题1．（22·23·河北·一模）在各项均为正数的等比数列中，，，则（    ）A．6 B．4 C．3 D．22．（22·23下·嘉兴·二模）已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则（    ）A．2023 B．2024 C．4046 D．40483．（22·23下·台州·二模）已知公差不为零的等差数列满足：，且成等比数列，则（    ）A． B． C． D．4．（22·23·宁德·二模）已知是数列的前项和，，，，数列是公差为1的等差数列，则（    ）A．366 B．367 C．368 D．3695．（23·24上·宁波·一模）已知数列为等比数列，且，则（    ）A．的最小值为50 B．的最大值为50C．的最小值为10 D．的最大值为106．（22·23下·镇江·三模）已知，，，，成等比数列，且和为其中的两项，则的最小值为（    ）A． B． C． D．7．（22·23下·黄冈·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（    ）A．10 B．11 C．12 D．138．（22·23·深圳·二模）宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n层的圆球总数为，容易发现：，，，则（    ）A．45 B．40 C．35 D．309．（22·23·广州·三模）小明的父母在他入读初中一年级起的9月1日向银行教育储蓄账户存入1000元，并且每年在9月1日当天都存入一笔钱，每年比上年多存1000元，即第二年存入2000元，第三年存入3000元，……，连续存6年，每年到期利息连同本金自动转存，在小明高中毕业的当年9月1日当天一次性取出，假设教育储蓄存款的年利率为p，不考虑利率的变化．在小明高中毕业的当年9月1日当天，一次性取出的金额总数（单位：千元）为（    ）．A． B．C． D．10．（22·23·福州·三模）数列中，，点在双曲线上.若恒成立，则实数λ的取值范围为（    ）A． B． C． D．11．（22·23·厦门·一模）已知数列满足：，，则数列的前项的和为（    ）A． B． C． D．12．（22·23下·温州·三模）已知数列各项为正数，满足，，则（    ）A．是等差数列 B．是等比数列C．是等差数列 D．是等比数列13．（22·23·张家口·一模）宽和长的比为的矩形称为黄金矩形，它在公元前六世纪就被古希腊学者发现并研究．下图为一个黄金矩形，即．对黄金矩形依次舍去以矩形的宽为边长的正方形，可得到不断缩小的黄金矩形序列，在下面图形的每个正方形中画上四分之一圆弧，得到一条接近于对数螺线的曲线，该曲线与每一个正方形的边围成下图中的阴影部分．若设，当无限增大时，，已知圆周率为，此时阴影部分的面积为（    ）A． B． C． D．14．（22·23·汕头·三模）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.已知一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（    ）A．464 B．465 C．466 D．46715．（22·23下·襄阳·三模）为响应国家号召，某地出台了相关的优惠政策鼓励“个体经济”.个体户小王2022年6月初向银行借了1年期的免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求.据测算：他每月月底获得的利润是该月初投入资金的20%，并且每月月底需扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2023年5月底他的年所得收入（扣除当月生活费且还完贷款）为（    ）元（参考数据：，）A．35200 B．43200 C．30000 D．3200016．（22·23下·武汉·三模）将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有2个逆序对的数列的个数为（    ）A．4 B．5 C．6 D．717．（23·24上·郴州·一模）设数列满足且是前项和，且，则（    ）A．2024 B．2023 C．1012 D．101118．（22·23·广州·三模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（    ）A．1640 B．1560 C．820 D．78019．（22·23下·青岛·二模）设表示不超过的最大整数（例如：，），则（    ）A． B． C． D．20．（22·23上·肇庆·二模）设数列的前项和为，且.若对任意的正整数，都有成立，则满足等式的所有正整数为（    ）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4二、多选题21．（22·23下·盐城·三模）已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（    ）A．若，则B．若，，则C．数列可以是等差数列D．数列可以是等比数列22．（22·23下·武汉·三模）已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ）．A．若数列为等差数列，则恒成立B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列C．若数列为等比数列，且，，则D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列23．（22·23下·岳阳·三模）设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（    ）A． B．数列单调递减C．当时，取得最小值 D．时，n的最小值为724．（22·23下·辽宁·三模）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（    ）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列25．（22·23·三明·三模）设等比数列的前项和为，前项积为，若满足，，，则下列选项正确的是（    ）A．为递减数列 B．C．当时，最小 D．当时，的最小值为404726．（22·23下·威海·二模）已知数列的首项，前n项和为．设与k是常数，若对任意，均有成立，则称此数列为“”数列．若数列是“”数列，且，则（    ）A． B．为等比数列C．的前n项和为 D．为等差数列27．（22·23·山东·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，设正方形ABCD边长为，后续各正方形边长依次为，，…，，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH面积为，后续各直角三角形面积依次为，，…，，…．则（    ）  A．数列是以4为首项，为公比的等比数列B．从正方形开始，连续个正方形的面积之和为32C．使得不等式成立的的最大值为3D．数列的前项和28．（22·23·茂名·二模）已知数列和满足：，，，，，则下列结论错误的是（    ）A．数列是公比为的等比数列 B．仅有有限项使得C．数列是递增数列 D．数列是递减数列29．（22·23下·苏州·三模）若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”.则下列数列是“数列”的有（    ）A． B．C． D．30．（22·23·漳州·三模）已知数列，，且满足，，则（    ）A． B．的最大值为C． D．三、填空题31．（2023下·淄博·二模）记为等比数列的前项和.若，则.32．（22·23下·永州·三模）已知等比数列，其前项和为，若，，则.33．（22·23下·长沙·三模）若数列中，，，且（），记数列的前n项积为，则的值为．34．（22·23下·无锡·三模）已约是一组平面向量，记，若，则满足的的值为.35．（22·23·烟台·二模）欧拉是瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，在许多数学的分支中经常可以见到以他的名字命名的重要函数、公式和定理．如著名的欧拉函数：对于正整数n，表示小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，如，．那么，数列的前n项和为．36．（22·23·聊城·三模）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项的和，即递推关系式为，，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”．已知满足上述递推关系式的数列的通项公式为，其中，的值可由和得到，比如兔子数列中，代入解得，．若，利用以上信息可得整数的值为．37．（22·23下·浙江·三模）某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为为的前项和，则.（结果保留成整数）（参考数据：）38．（22·23下·黄冈·三模）已知数列满足：，若，且数列为递增数列，则实数的取值范围为．39．（22·23下·铜川·一模）已知正项数列中，，且为其前项和，若存在正整数，使得成立，则的取值范围是．40．（22·23下·岳阳·二模）定义是与实数的距离最近的整数（当为两相邻整数的算术平均值时，取较大整数），如，令函数，数列的通项公式为，其前项和为，则；.