专题16 导数中有关x与ex,lnx的组合函数问题(解析版)

2023-11-18 · 11页 · 238.3 K

专题16 导数有关x与ex,lnx的组合函数问题在函数的综合问题中,常以x与ex,lnx组合的函数为基础来命题,将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起,发挥导数的工具作用,应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合,注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用,突出对数学思维能力和数学核心素养的考查.六大经典超越函数的图象函数f(x)=xexf(x)=eq\f(ex,x)f(x)=eq\f(x,ex)图象函数f(x)=xlnxf(x)=eq\f(lnx,x)f(x)=eq\f(x,lnx)图象考点一 x与lnx的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)=h(x)lnx(h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0))的图象特征,做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”.(2)熟悉函数f(x)=eq\f(lnx,h(x))(h(x)=ax2+bx+c(a,b不能同时为0),h(x)≠0)的图象特征,做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”.【例题选讲】[例1] 设函数f(x)=xlnx-eq\f(ax2,2)+a-x(a∈R).(1)若函数f(x)有两个不同的极值点,求实数a的取值范围;(2)若a=2,k∈N,g(x)=2-2x-x2,且当x>2时不等式k(x-2)+g(x)<f(x)恒成立,试求k的最大值.分析 (1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题,利用数形结合思想进行求解;(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解.解析 (1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1-ax-1=lnx-ax,令f′(x)=0,可得a=eq\f(lnx,x),令h(x)=eq\f(lnx,x)(x>0),则由题可知直线y=a与函数h(x)的图象有两个不同的交点,h′(x)=eq\f(1-lnx,x2),令h′(x)=0,得x=e,可知h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,h(x)max=h(e)=eq\f(1,e),当x→0时,h(x)→-∞,当x→+∞时,h(x)→0,故实数a的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,e))).(2)当a=2时,f(x)=xlnx-x2+2-x,k(x-2)+g(x)<f(x),即k(x-2)+2-2x-x2<xlnx-x2+2-x,整理得k(x-2)<xlnx+x,因为x>2,所以k<eq\f(xlnx+x,x-2).设F(x)=eq\f(xlnx+x,x-2)(x>2),则F′(x)=eq\f(x-4-2lnx,(x-2)2).令m(x)=x-4-2lnx(x>2),则m′(x)=1-eq\f(2,x)>0,所以m(x)在(2,+∞)上单调递增,m(8)=4-2ln8<4-2lne2=4-4=0,m(10)=6-2ln10>6-2lne3=6-6=0,所以函数m(x)在(8,10)上有唯一的零点x0,即x0-4-2lnx0=0,故当2<x<x0时,m(x)<0,即F′(x)<0,当x>x0时,F′(x)>0,所以F(x)min=F(x0)=eq\f(x0lnx0+x0,x0-2)=eq\f(x0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(x0-4,2))),x0-2)=eq\f(x0,2),所以k<eq\f(x0,2),因为x0∈(8,10),所以eq\f(x0,2)∈(4,5),故k的最大值为4.点评 1.极值点问题通常可转化为零点问题,且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反,若已知极值点求参数的取值范围,一定要对结果进行验证.解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法,可根据式子的结构特征,进行选择和调整,一般可转化为最值问题进行求解.2.对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题,要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识,能够灵活利用导数研究函数的单调性,能够恰当地构造函数,并根据区间的不同进行分析、讨论,寻求合理的证明和解不等式的策略.【对点训练】1.若a=eq\f(ln2,2),b=eq\f(ln3,3),c=eq\f(ln6,6),则( )A.ab>0,ab=ba,有如下四个结论:(1)be;(3)存在a,b满足a·be2,则正确结论的序号是( )A.(1)(3) B.(2)(3) C.(1)(4) D.(2)(4)2.答案 C 解析 由ab=ba两边取对数得blna=alnb⇒eq\f(lna,a)=eq\f(lnb,b).对于y=eq\f(lnx,x),由图象易知当be,be2,故(4)正确,(3)错误.因此,选C.3.设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z3.答案 D 解析 令2x=3y=5z=t(t>1),两边取对数得x=log2t=eq\f(lnt,ln2),y=log3t=eq\f(lnt,ln3),z=log5t=eq\f(lnt,ln5),从而2x=eq\f(2,ln2)lnt,3y=eq\f(3,ln3)lnt,5z=eq\f(5,ln5)lnt.由t>1知,要比较三者大小,只需比较eq\f(2,ln2),eq\f(3,ln3),eq\f(5,ln5)的大小.又eq\f(2,ln2)=eq\f(4,ln4),e<3<4<5,由y=eq\f(lnx,x)在(e,+∞)上单调递减可知,eq\f(ln3,3)>eq\f(ln4,4)>eq\f(ln5,5),从而eq\f(3,ln3)<eq\f(4,ln4)<eq\f(5,ln5),3y<2x<5z,故选D.4.下列四个命题:①ln5<eq\r(5)ln2;②lnπ>eq\r(\f(π,e));③<11;④3eln2>4eq\r(2).其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.44.答案 B 解析 构造函数f(x)=eq\f(lnx,x),则f′(x)=eq\f(1-lnx,x2),当x∈(0,e)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.①ln5<eq\r(5)ln2⇒2lneq\r(5)<eq\r(5)ln2⇒eq\f(ln\r(5),\r(5))<eq\f(ln2,2),又2<eq\r(5)eq\r(\f(π,e))⇒2lneq\r(π)>eq\f(\r(π),\r(e))⇒eq\f(ln\r(π),\r(π))>eq\f(\f(1,2),\r(e))=eq\f(ln\r(e),\r(e)),又e>eq\r(π)>eq\r(e),故正确.③<11⇒eq\r(11)ln2eq\r(11)>e,故正确.④3eln2>4eq\r(2)⇒>2×⇒>eq\f(lne,e),显然错误.因此选B.5.已知函数f(x)=kx2-lnx,若f(x)>0在函数定义域内恒成立,则k的取值范围是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),e)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e),\f(1,e))) C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2e))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e),+∞))5.答案 D 解析 由题意得f(x)>0在函数定义域内恒成立,即kx2-lnx>0在函数定义域内恒成立,即k>eq\f(lnx,x2)在函数定义域内恒成立,设g(x)=eq\f(lnx,x2),则g′(x)=eq\f(x-2xlnx,x4)=eq\f(x(1-2lnx),x4),当x∈(0,eq\r(e))时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当x∈(eq\r(e),+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,所以当x=eq\r(e)时,函数g(x)取得最大值,此时最大值为g(eq\r(e))=eq\f(1,2e),所以实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2e),+∞)),故选D.6.已知0eq\f(lnx2,x1) B.eq\f(lnx1,x2)<eq\f(lnx2,x1) C.x2lnx1>x1lnx2 D.x2lnx10,得x>eq\f(1,e),所以函数f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e),+∞))上单调递增;由f′(x)<0,得00,得00,所以a≥eq\f(lnx,x2).令g(x)=eq\f(lnx,x2),则g′(x)=eq\f(1-2lnx,x3).令g′(x)>0,得0

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为PDF

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐