导数中八大切线问题题型总结（解析）

导数中八大切线问题题型总结【考点预测】1.在点的切线方程切线方程y-f(x0)=f(x0)(x-x0)的计算：函数y=f(x)在点A(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=fy0=f(x0)(x0)(x-x0)，抓住关键．k=f(x0)2.过点的切线方程设切点为P(x0，y0)，则斜率k=f(x0)，过切点的切线方程为：y-y0=f(x0)(x-x0)，又因为切线方程过点A(m，n)，所以n-y0=f(x0)(m-x0)然后解出x0的值．(x0有几个值，就有几条切线)注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．【题型目录】题型一：导数与切线斜率的关系题型二：在点P处切线(此类题目点P即为切点)题型三：过点P的切线(此类题目点P不一定为切点，需要设切点为x0,y0)题型四：已知切线求参数问题题型五：切线的条数问题(判断切线条数以及由切线条数求范围)题型六：公切线问题题型七：切线平行、垂直、重合问题题型八：与切线相关的最值问题【典例例题】题型一：导数与切线斜率的关系【例1】(2022·全国·高三专题练习(文))函数y=f(x)的图像如图所示，下列不等关系正确的是(       )A.00，f3表示切线l3斜率k3>0，f(3)-f(2)又由平均变化率的定义，可得=f(3)-f(2)，表示割线l3-22的斜率k2，结合图象，可得0解析】由导数的几何意义判断【详解】由图象可知f(x)在(0,+∞)上单调递增，k1f3，记A2，f2，B3，f3，作直线AB，根据两点坐标求出直线AB的斜率，结合图形即可得出f3-f2>f3.【详解】由函数的图象可知函数fx是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x=2处的切线斜率k1大于在x=3处的切线斜率k2，所以f2>f3；记A2，f2，B3，f3，作直线AB，则直线AB的斜率k=f3-f2=f3-f2，由函数图象，可知k>k>k>0，3-212即f2>f3-f2>f3>0.故选：AB2.(2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末)函数y=fx的图象如图所示，fx是函数fx的导函数，则下列数值排序正确的是(       )A.2f3-1，即切线的斜率k>-1，进而得到tanθ>-1，即可求解.【详解】1由题意，函数f(x)=e2x-x，可得f(x)=e2x-1，2因为e2x>0，所以e2x-1>-1，即切线的斜率k>-1，设切线的倾斜角为θ，则tanθ>-1π3π又因为0≤θ<π，所以0≤θ<或<θ<π，24π3π即切线的倾斜角的范围为0,∪,π.24故选：B.2x+a【例5】(2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测(文))曲线y=在点1,b处的切线方程为kx-y+6=0，x+2则k的值为(       )21A.-1B.-C.D.132【答案】A【解析】依据题意列出关于a、b、k的方程组，即可求得k的值【详解】2+a由切点1,b在曲线上，得b=①；3由切点1,b在切线上，得k-b+6=0②；4-a4-a对曲线求导得y=2，∴y==k，即4-a=9k③，x+2x=132b=2+aa=133联立①②③k-b+6=0，解之得b=54-a=9kk=-1故选：A.f2x2−x,x>0【例6】(2022·江西·丰城九中高二期末(理))已知函数fx=3图像关于原点对称，则f(x)gx,x<0在x=-1处的切线方程为(       )A.3x-y+2=0B.3x-y-2=0C.3x+y+4=0D.3x+y-4=0【答案】A【分析】令x=2先求出f(2)的值，再利用函数关于原点对称可求出g(x),再利用导函数的几何意义即可求出f(x)在x=-1处的切线方程.f(2)【详解】由题意知：f(2)=×22-2⇒f(2)=6.32x2-x,x>0所以f(x)=;g(x),x<0令x<0，则-x>0.所以f(-x)=2x2+x.又函数f(x)图像关于原点对称，即f(-x)=-f(x).所以当x<0时，f(x)=-2x2-x.所以当x<0时，f(x)=-4x-1.f(-1)=4-1=3,f(-1)=-2+1=-1;所以f(x)在x=-1处的切线方程为：y+1=3(x+1)⇒3x-y+2=0.故选：A.【题型专练】1.【2018年新课标1卷理科】设函数fx=x3+a-1x2+ax．若fx为奇函数，则曲线y=fx在点0，0处的切线方程为( )A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x【答案】D【解析】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得a=1，进而得到f(x)的解析式，再对f(x)求导得出切线的斜率k，进而求得切线方程.详解：因为函数f(x)是奇函数，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y-f(0)=f'(0)x，化简可得y=x，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线y=f(x)在某个点(x0,f(x0))处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得f'(x)，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2x-12.【2021年甲卷理科】曲线y=在点-1,-3处的切线方程为__________．x+2【答案】5x-y+2=0【解析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当x=-1时，y=-3，故点在曲线上．2x+2-2x-15求导得：y=2=2，所以y|x=-1=5．x+2x+2故切线方程为5x-y+2=0．故答案为：5x-y+2=0．3.【2019年新课标1卷理科】曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】3x-y=0.【解析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：y/=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,/所以，k=y|x=0=3所以，曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x，即3x-y=0．【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．4.【2018年新课标2卷理科】曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】y=2x【解析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.【详解】22∵y=∴k==2∴y=2xx+10+1【点睛】求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.5.【2018年新课标3卷理科】曲线y=ax+1ex在点0，1处的切线的斜率为-2，则a=________．【答案】-3【解析】求导，利用导数的几何意义计算即可．【详解】解：y=aex+ax+1ex则f0=a+1=-2所以a=-3故答案为-3.【点睛】本