2024届四川省绵阳南山中学高三下学期4月三诊热身考试理科数学答案

2021级高三下期绵阳三诊热身考试试题理科数学参考答案一、单选题题号123456789101112答案AAABCCCBADAD二、填空题232π13．3014.315.,16.ln23三、解答题17．（Ⅰ）由题意，得0.020.032a0.018101，解得a0.03；又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）而50个样本小球重量的平均值为：X0.2100.32200.3300.184024.6（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.21则XB(3,).X的可能取值为0、1、2、3，503201464，11448，PX0C3PX1C3551255512523021412，3141PX2C3PX3C3.5512555125X的分布列为：X01236448121P1251251251256448121313EX0123.（或者EX3）125125125125555SSS18．（1）设等差数列n的公差为d，则413d，即S3d5，①n411SS因为SaaS4，所以由21d，得S2d4．②2121211试卷第1页，共6页{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}Sn由①、②解得S12,d1，所以n1，即Snnn1，n当n2时，anSnSn1nn1n1n2n，当n1时，a1S12，上式也成立，*所以an2nnN，所以数列an是等差数列；ba2nn（2）由（1）可知n1n，bnan22n4n2bnbn1b2n1n2112当n2时，bnb16，bn1bn2b1n1n3nn11211*因为b6满足上式，所以bn12nN．1nn1nn111111112Tn12112112．223nn1n1n119．（1）证明：因为AC2BC2，所以BC1.因为2ACB，所以ACB.3612BCAC在ABC中，，即sinB，所以sinB1，即ABBC.sinAsinBsin6又因为平面ABC平面B1C1CB，平面ABC平面B1C1CBBC，AB平面ABC，所以AB平面B1C1CB.又B1C平面B1C1CB，所以ABB1C，在BBC中，BB2，BC1，CBB，1113所以BC2BB2BC22BBBCcos3，即BC3，所以BCBC.111311而ABB1C，AB平面ABC，BC平面ABC，ABBCB，所以B1C平面ABC.又B1C平面ACB1，所以平面ABC平面ACB1.试卷第2页，共6页{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}（2）以B为坐标原点，以BC为x轴，BA为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系：则B0,0,0，C1,0,0，A0,3,0，B1C平面ABC，B11,0,3，BB11,0,3，在三棱柱中，，可得，，AA1//BB1//CC1C12,0,3A11,3,31P为BC中点，P,0,0，21A1P,3,3，AB11,3,3，CB10,0,3，2设平面ACB1的一个法向量为nx,y,z，ABn0x3y3z0则1，即，令x3，可得y1,z0，CB1n03z0则n3,1,0，设直线A1P与平面ACB1所成角为，330APn33则sincosAP,n12,1510A1Pn2233故直线A1P与平面ACB1所成角的正弦值为.1020．（1）fx的定义域为,，fx2ae2xa2ex1aex12ex1，（ⅰ）若a0，则fx0，所以fx在,单调递减.（ⅱ）若a0，则由fx0得xlna.当x,lna时，fx0；当xlna,时，fx0，所以fx在,lna单调递减，在lna,单调递增.（2）（ⅰ）若a0，由（1）知，fx至多有一个零点.试卷第3页，共6页{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}1（ⅱ）若a0，由（1）知，当xlna时，fx取得最小值，最小值为flna1lna.a①当a1时，由于flna0，故fx只有一个零点；1②当a1,时，由于1lna0，即flna0，故fx没有零点；a1③当a0,1时，1lna0，即flna0.a又f2ae4a2e222e220，故fx在,lna有一个零点.3n0n0n0n0设正整数n0满足n0ln1，则fn0eaea2n0en02n00.a3由于ln1lna，因此fx在lna,有一个零点.a综上，a的取值范围为0,1.221．（1）将点E1,22代入抛物线方程，可得222p1，解得p4，所以抛物线方程为y28x，设直线AB的方程为：ykxmk0,Ax1,y1,Bx2,y2，ykxmy222联立方程2，消去得kx2km8xm0，k0，y8x82kmm2由韦达定理得xx,xx，12k212k282km4根据抛物线定义：AFBFxx448，可得m2k，12k2k2此时Δ2km84k2m2322km64k210，解得k1或k1，x1x2x02设AB的中点坐标为x0,y0，则2，y0kx0m2km1可得AB的垂直平分线方程为：y2kmx2，k41将m2k代入整理得：yx6，故AB的垂直平分线过定点6,0．kk试卷第4页，共6页{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}222282km4m281k（2）由（1）可得AB1k1k，k2k2k214k且点M6,0到直线的距离6kmk，ABd1k21k2116k21k则ABM的面积为1k，SABd2k2221256k1k22可得2k111，S2561k4k2k4k61设t，设ft1tt2t30t1，则ft12t3t2k211令ft0，解得0t；令ft0，解得t1；3311则ft在0,上单调递增，在,1上单调递减．3312所以当t时，ABM的面积取最大值，此时k23，即k3．此时AB:y3x.33π122．（1）曲线C1的极坐标方程为ρsinθ0，即sin3cos10，32则曲线C1的直角坐标方程为3xy10，22把参数方程平方相加得曲线C2的普通方程为xy4.π（2）易知点P在直线3xy10上，且该直线的斜率为3，倾斜角为，31xt2则曲线C1的参数方程为（t为参数），3y1t22联立曲线C1的参数方程与曲线C2的普通方程得t3t30，设点A，B在直线3xy10上对应的参数分别为t1，t2，由韦达定理可得t1t23，t1t23，试卷第5页，共6页{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}1111t2t1t1t23.PAPBt1t2t1t2t1t2323．（1）因为4x2y2z23，所以(2x)2y2z23，又x、y、z均为正实数，由柯西不等式有2222222，1112xyz2xyz所以2xyz3，当且仅当2xyz且4x2y2z23，即2xyz1时，等号成立，所以2xyz的最大值为3.（2）因为y2x，x0，y0，z0，由（1）得2xyz4xz3，11即04xz3，所以，4xz3当且仅当2xz1时，等号成立，11z4xz4x因为4xz5529，xzxzxz4xz当且仅当，即z2x1时，等号成立，zx1111911因为，所以3，即3．4xz3xz4xzxz试卷第6页，共6页{#{QQABCQiAggiAAIIAARgCUQXyCkAQkBACAIoOQAAEoAAByAFABAA=}#}