高考数学专题10以双曲线为情境的探索性问题（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练10以双曲线的为情境的探索性问题典例分析类型一：探索定值的存在性1．已知为坐标原点，椭圆：的焦距为，直线截圆：与椭圆所得的弦长之比为，椭圆与轴正半轴的交点分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，.试判断是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.【答案】（1）；（2）是，定值为4【分析】（1）由焦距可知c的值，直线截圆：的弦长是2a，截椭圆的弦长由直线和椭圆方程联立，利用韦达定理可以求出，根据两段弦长之比为可以求出a，即得；（2）A点坐标是椭圆与轴正半轴的交点，可以由（1）得出，点关于轴的对称点为，分别求出直线AB和直线AC的方程，可得两直线与x轴的交点M，N的坐标，最后得出为定值。【详解】（1）依题意：，，直线与圆相交弦长为直径.又∵，∴弦长为，∴有.又，∴求得，.∴椭圆的标准方程：.由（1）可知，点的坐标为，直线的方程为，令，得.因为点关于轴的对称点为，所以.所以直线的方程为，令，得.∵.又∵点在椭圆上，所以，即.∴是定值，定值为4.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，运用韦达定理求椭圆标准方程，以及判断两个变量的乘积为定值，是一道椭圆综合题目。2．设双曲线C：，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；（2）直线l交直线于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论.【答案】（1）；（2）是定值，证明见解析.【分析】(1)由已知可得直线l斜率不为0，设其方程为，联立方程组化简，由直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，可得方程有两个不同的解，设，则，，列方程求m的范围，由此可求倾斜角的取值范围，(2)求点P的坐标，利用(1)的结论化简可证为定值.【详解】（1）由双曲线得，则右焦点，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由得因为直线与双曲线的右支交于两点，设，，则解得，当时，直线倾斜角，当时，直线的斜率或，综上，直线倾斜角的取值范围为.（2）由得不妨假设，则，又，代入上式，得所以为定值1.【点睛】(1)解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．3．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.（1）求的取值范围，并求的最小值；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.【答案】（1）的取值范围为；取最小值；（2）是定值；证明见解析.【分析】（1）根据直线与圆相切，可得，联立直线与双曲线，根据可得的范围，根据韦达定理以及可得最小值；（2）根据斜率公式以及韦达定理，将变形化简可得结果.【详解】（1）与圆相切，，，由，得，，，故的取值范围为.由于，，当时，即时，取最小值.（2）由已知可得的坐标分别为，，，又因为，所以，为定值.【点睛】本题考查了直线与圆相切，考查了直线与双曲线相交，考查了斜率公式、韦达定理，考查了运算求解能力，属于中档题.类型二：探索参数的存在性1．设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．（1）为何值时，以为直径的圆过原点？（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，．【分析】（1）将直线方程与双曲线方程联立消去y，由根与系数的关系得到两根关系，再根据以为直径的圆过原点，得到，进而得到两点坐标间的关系，进而解出答案；（2）先假设存在，利用得到的比值，然后利用化简得到两点的坐标关系，进而得到答案.【详解】（1）由，消去整理得.依题意得，，∴且，设，，由根与系数的关系得：，，又以为直径的圆过原点，所以，即，，则，所以．（2）假设存在实数满足条件．∵，，∴，．又，故，即，所以，∴，故存在实数满足题意．2．已知，，（1）求点的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由得，结合，可求出轨迹方程；（2）联立直线与曲线方程，得到韦达定理，由判别式大于0，且，解出k的范围；（3）假设存在点M，则，结合韦达定理得到方程，解出k即可.【详解】（1）由，得，即又，，所以，即，故所求的轨迹方程是（2）设、，把代入，得得由且，解得且，∵A、B在y轴的同一侧，所以，即，得到或，综上，得.（3）由（2）得…①…②，……③∵曲线C与x轴交点、，若存在实数k，符合题意，则不妨取点，,得将①②③式代入上式,整理得到,解得舍去）根据曲线的对称性知，存在实数，使得以AB为直径的圆恰好过M点。3．已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）根据的渐近线方程求出，然后再根据焦点坐标求出的值，从而求双曲线的标准方程；（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立消元写韦达；然后表示出直线斜率，根据韦达定理求的值，从而求出的值.【详解】（1）的渐近线为，，，，所以双曲线的标准方程.（2）由已知，，过点与右支交于两点，则斜率不为零，设，由，消元得，因为与双曲线右支交于两点，所以，解得，，，，，，，存在使得.类型三：探索动点的存在性1．圆：，圆：，圆、关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）直线l上是否存在点Q，使点Q到点的距离减去点Q到点的距离的差为4，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在．理由见解析【分析】(1)因为圆心关于直线l对称,故直线过圆心、的中点,且直线与垂直即可.(2)由点Q到点的距离减去点Q到点的距离的差为4可求得的轨迹为以,为焦点,的双曲线右支上,求出双曲线方程再分析与是否相交即可.【详解】(1)由题,直线过圆心、的中点,又,即.故直线l的方程为,化简得.(2)由题意得的轨迹是以,为焦点,的双曲线右支.故,故的轨迹方程为,.联立得,方程组无解.故直线l上不存在满足条件的点.【点睛】本题主要考查了直线中对称的问题,同时也考查了双曲线的轨迹问题与直线与双曲线的位置关系等,属于中等题型.2．已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.（1）求等轴双曲线的方程；（2）若过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；（3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）定点.【解析】【分析】（1）根据双曲线焦点到渐近线的距离为和等轴双曲线的性质，求得等轴双曲线的方程.（2）由直线的方向向量求得直线的斜率，由此写出直线的方程.联立直线的方程和双曲线的方程，写出韦达定理，求得，，由此求得的值.（3）设，设出直线的方程，与双曲线方程联立，写出韦达定理，代入进行化简，结合为常数列方程，解方程求得点的坐标.【详解】（1）双曲线焦点到渐近线的距离为，所以，所以等轴双曲线的方程为.且.（2）由于直线的方向行向量为，所以直线的斜率为，而，所以：，与联立方程并化简得，可得，，即.（3）设点.依题意可知直线与不平行，设直线，与联立方程有，可得，，∴，，，要为定值，需满足，∴，即定点.【点睛】本小题主要考查等轴双曲线，考查直线和双曲线的位置关系，考查平面向量数量积的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.方法点拨1、存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2．圆锥曲线中存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．巩固练习1．过（0，2）点作斜率为k的直线l与双曲线有两个不同交点P和Q.⑴求k的取值范围.⑵是否存在斜率k，使得向量与双曲线的一条渐近线的方向向量平行.若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.【答案】⑴k且k；（2）不存在常数k.【分析】⑴设出直线方程代入双曲线方程，利用判别式，即可求k的取值范围；（2）用坐标表示向量，利用共线向量的坐标运算，建立关于k的方程，推导出不存在常数k满足条件．【详解】⑴设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线方程，可得（3﹣k2）x2-4kx-16＝0①∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q∴且△＝16k2+64（3﹣k2）＞0，即且解得k且k；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则（x1+x2，y1+y2），由①得x1+x2．②，又y1+y2＝k（x1+x2）+4③因为向量与双曲线的一条渐近线的方向向量平行，等价于x1+x2（y1+y2），将②③代入上式，解得k．所以不存在常数k，使得向量与渐近线共线.2．已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆相内切．(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；(2)设直线:y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由【答案】(1)(2)满足条件的直线共有9条【分析】（I）由|AM|=4|AM|，由定义得圆心C的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，再根据a，b，c的关系解答即可．（II）直线l：与联立得，同理得，又因为，所以，即，又其中k，m∈Z即可求出k，m的数值．【解析】（1）圆，圆心的坐标为，半径.∵，∴点在圆内.设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，即.∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为,   则.∴.∴所求动圆的圆心的轨迹方程为.(2)由消去化简整理得：.设，，则..   ①由消去化简整理得：.设，则,.   ②∵，∴，即，∴.∴或.    解得或                                                    当时,由①、②得   ，∵Z,∴的值为，，;当，由①、②得   ，∵Z,∴.∴满足条件的直线共有9条．3．已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为2的正方形．（1）求双曲线的方程；（2）过的直线交于A,B两点，线段AB的中点为M，问是否能成立？若成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）根据C的两条渐近线相互垂直，且到其中一条渐近线的距离为2，建立方程组，求出，从而可求双曲线C的方程；（2）根据直线斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率存在时，设其方程代入双曲线方程，利用韦达定理及，可得结论．【详解】（1）依题意知C的两条渐近线相互垂直，且到其中一条渐近线的距离为2，又一条渐近线方程为，则，又，故可得，，故双曲线C的方程为．（2）这样的直线不存在，理由如下：当直线l的斜率不存在时，对，令，解得，此时点与重合，，不满足题意.当直线l斜率存在时，设其方程为，并设，由知，联立直线方程和双曲线方程，故则故∴解