2024～2025学年第一学期第二次月考高二数学（学科）试题注意事项：考试时间120分钟，试卷总分150分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。一、单选题1.若集合A={−1,−2,−3}，B={x+y|x∈A,y∈A}，则A∩B=( )A.{−2}B.−3C.{−2,−3} D.{−1,−2,−3}2.已知z−1z+3=2−i，则z=( )A.−2−2i B.−2+2i C.−5+2i D.−5−2i3.点P在曲线y=x3−x+23上，设曲线在点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A.0,π2B.0,π2∪−π2,0C.3π4,π D.0,π2∪3π4,π4.设递增等比数列{an}满足a4+a6=20，a4a5a6=512，则a1a2+a2a3+…+anan+1=（）A.2n−12 B.2n+1−12 C.4n−16 D.4n+1−165.已知函数f(x)=x3+2x−sin x，若f(2a2)+f(a−1)≤0，则实数a的取值范围为( )A.−∞,−12∪[1,+∞) B.−12,1 C.(−∞,−1]∪12,+∞ D.−1,126.已知圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)关于直线x＋2y＋1＝0对称，圆C2的标准方程是(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系是( )A.外离B.外切C.相交 D.内含7.若直线y=4x+m是曲线y=x3−nx+13与曲线y=x2+2ln x的公切线，则n−m=( )A.11 B.12 C.−8 D.−78.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C:x2a2−y2b2=1上，点H在直线x=a上，且满足2HP+3HF1+4HF2=0.若存在实数λ使得OH→=OP→+λ(PF1→sin∠PF2F1+PF2→sin∠PF1F2)，则双曲线C的离心率为( )A.74 B.72 C.2 D.3二、多选题9.已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，则下列结论正确的是( )A.直线l过定点(3,1) B.原点O到直线l距离的最大值为10 C.若点A(−1,0)，B(1,0)到直线l的距离相等，则m=−12 D.若直线l经过一、二、三象限，则−472 C.S2024<−2015 D.S2024−S2025<211．已知斜率为的直线l经过抛物线的焦点，与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A．B．C． D．三、填空题12.已知平面向量a=(2,m)，b=(1,−1)，且|a+2b|=|a−2b|，则|a|= 13.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.若定点P(1，1)分弦AB为AP∶PB＝1∶2，求直线l的方程.14．如图，在边长为a的等边三角形ABC中，圆D1与△ABC相切，圆D2与圆D1相切且与AB，AC相切，…，圆Dn+1与圆Dn相切且与AB，AC相切，依次得到圆D3，D4，…，Dn．设圆D1，D2，…，Dn的面积之和为，（），则四、解答题15.(本小题13分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(c−2b)cosA+a2+b2−c22b=0．(1)若a=4，b+c=8，求△ABC的面积;(2)若角C为钝角，求cb的取值范围．16.(本小题15分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且n、an、Sn成等差数列，bn=2log2(1+an)−1．(1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}中去掉数列{an}的项后余下的项按原顺序组成数列{cn}，求c1+c2+⋅⋅⋅+c100的值．17.(本小题15分)设函数f(x)=x2+ax−lnx，a∈R．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间．(2)令g(x)=f(x)−x2，是否存在实数a，当x∈(0,e]时，函数g(x)的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．18.(本小题17分)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2an+n−3．(1)证明：数列an−1为等比数列，并求an的通项公式；(2)在an和an+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，求数列1dn的前n项和Tn．(3)若对于任意n∈N+，数列1dn的前n项和Tn>m恒成立，求实数m的取值范围．19.(本小题17分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上任一点，▵PF1F2的面积的最大值为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， ①若3x1x2=4y1y2，求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值； ②若OA⋅OB=0，求四边形ABCD周长的取值范围．一单选1、C2、D3、D4、C5、D6、B7、A8、C二多选9、ABD 10、ACD 11、 AD三填空12、2213、x－y＝0或x＋y－2＝0.14、四解答题15、【答案】解：(1)根据题意得 (c−2b)cos A+acos C=0 ， 由正弦定理得 (sin C−2sin B)cos A+sin Acos C=0 ，因为 sin Ccos A+sin Acos C=sin (A+C)=sin (π−B)=sin B ，所以 sin B(1−2cos A)=0 ，因为 00，所以cos A=12 ，又 0π2 ，可得 032 ，即 cb>2 ，故 cb 的取值范围是 (2,+∞) ．16、【答案】解：(1)因为n，an，Sn成等差数列， 所以Sn+n=2an，① 所以Sn−1+n−1=2an−1(n≥2)②由①−②，得an+1=2an−2an−1， 所以an+1=2(an−1+1)(n≥2)，又当n=1时，S1+1=2a1，所以a1=1，所以a1+1=2， 故数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an+1=2⋅2n−1=2n， 即an=2n−1； (2)据(1)求解知，bn=2log2(1+2n−1)−1=2n−1，b1=1， 所以bn+1−bn=2，所以数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列， 又因为a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31， a6=63，a7=127，a8=255，b64=127，b106=211，b107=213， 所以c1+c2+…+c100=(b1+b2+…+b107)−(a1+a2+…+a7) =107×(1+213)2−[(21+22+…+27)−7]=107×2142−2(1−27)1−2+7 =1072−28+9=11202． 17、【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=x2+x−lnx，x>0，得f'(x)=2x+1−1x=(2x−1)(x+1)x， 令f'(x)>0，解得x>12，令f'(x)<0，解得00，g(x)在1a,e上单调递增， 所以g(x)在(0,e]上的最小值为g1a=1+lna=3，解得a=e2，满足题意； ③当1a≥e时，x∈(0,e)时，g'(x)<0，g(x)在(0,e]上单调递减， 所以g(x)在(0,e]上的最小值为g(e)=ae−1=3，解得a=4e，不合题意，舍去． 综上，存在实数a=e2，使得当x∈(0,e]时，g(x)的最小值是3．18、【答案】解：(1)因为Sn=2an+n−3，①当n=1时，a1=2a1−2，所以a1=2．当n≥2时，Sn−1=2an−1+n−4，②由①−②得an=2an−2an−1+1，即an=2an−1−1，所以an−1=2(an−1−1)，又a1−1=1，所以数列an−1是首项为1，公比为2的等比数列，所以an−1=2n−1，当n=1时，a1=2也适合an−1=2n−1， 故an的通项公式为an=2n−1+1 ；(2)因为an+1=an+n+1dn，所以2n+1=2n+1+1+n+1dn，解得dn=2n−1n+1，所以1dn=n+12n−1．所以Tn=220+321+422+⋯+n+12n−1，12Tn=221+322+423+⋯+n2n−1+n+12n，两式相减得12Tn=2+121+122+123+⋯+12n−1−n+12n =2+121−12n−11−12−n+12n=3−n+32n．所以Tn=6−n+32n−1 ； (3)由于对于任意n∈N+，Tn>m恒成立，即6−n+32n−1>m恒成立，等价于6−n+32n−1的 最小值大于m．令bn=n+32n−1，则bn+1−bn=n+42n−n+32n−1=−n−22n=−n+22n<0， 所以数列{bn}是递减数列，故数列{bn}中的最大值为b1=1+321−1=4， 所以Tn的最小值为2，所以当Tn>m对于任意n∈N+恒成立时，m<2．19、【答案】解：(1)由题意e=ca=12，12×2c×b=cb=3， 又a2=b2+c2，解得a=2，b=3，所以椭圆的标准方程为：x24+y23=1； (2) ①如图所示， 显然直线AB斜率存在，设AB方程为y=kx+m，点A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立x24+y23=1y=kx+m，消去y整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0，则Δ=64k2m2−4(3+4k2)(4m2−12)=48(4k2−m2+3)， 由根与系数的关系，得x1+x2=−8km3+4k2x1x2=4m2−123+4k2, ∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=−12k2+3m23+4k2， ∵3x1x2=4y1y2， ∴3·4m2−123+4k2=4·−12k2+3m23+4k2，解得4k2−3=0， 又∵kBC=y2+y1x2+x1=k+2mx2+x1=−34k，kAB+kBC=k−34k=4k2−34k=0， 所以直线AB和直线BC的斜率之和为定值0； ②因为对角线AC、BD过原点O，且OA⋅OB=0，即OA⊥OB， 所以四边形ABCD为菱形，所以四边形ABCD的周长为：4|AB|， 若直线AB斜率不存在，则设A(x0,y0)，则B(x0,−y0)，因为OA⋅OB=0，所以|x0|=|y0|， 所以x024+y023=1，