江西省赣州市大余县部分学校2024-2025学年高二上学期12月联考数学试题 Word版含解析

2024-2025学年上学期12月月考高二数学试卷能力提升卷（测试时间：120分钟满分：150分）第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）1.已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3＝15，且＝，则a2＝（）A.2 B.C.3 D.【答案】C【解析】【分析】结合数列的前n项和公式以及中项性质将已知条件化简整理即可直接求出结果.【详解】∵∵＝，即，则∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故选：C.（2021年四川省泸县第二中学高一月考）2.已知函数，若数列满足，则（）A.1 B.2 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，分别求得，得出数列的周期为4，根据数列的周期性，得到，即可求解.【详解】由题意，函数，且数列满足，所以，，，，，，所以数列的周期为4，所以.故选：C.3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，…该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列称为“斐波那契数列”，若{an}是“斐波那契数列”，则的值为（）.A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】由已知数列的特点依次求出，，，的值，发现这些数依次为，进而可求出答案【详解】由题设可知，斐波那契数列{an}为：其特点为：前两个数为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，由此可知：，，，，，则.故选：B.4.已知数列满足，设，为数列的前n项和.若对任意恒成立，则实数t的最小值为（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的通项，再利用裂项相消法可求，结合不等式的性质可求实数t的最小值.【详解】时，，因为，所以时，，两式相减得到，故时不适合此式，所以，当时，，当时，，所以；所以t的最小值；故选：C.【点睛】方法点睛：数列求和关键看通项结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.（2021年陕西西北工业大学附属中学高一月考）5.数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先设，根据题意得到，从而得到，即可得到，即可得到答案.【详解】由题知：设，则，所以.又因为，所以，，，，，即，解得.因为，所以，又因为，所以，即.故选：C6.定义：如果函数在区间上存在，满足，，则称函数是在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】，∵函数是区间上的双中值函数，∴区间上存在，满足∴方程在区间有两个不相等的解，令，则，解得∴实数的取值范围是.故选:A．（2021年浙江杭州市杭十四中高二期中）7.已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围为（）A. B.C.（0，1） D.【答案】B【解析】【分析】设切点分别为和(s，t)，再由导数求得斜率相等，得到构造函数由导数求得参数的范围．【详解】的导数为的导数为设与曲线相切的切点为与曲线相切的切点为(s，t)，则有公共切线斜率为又，即有，即为，即有则有即为令则，当时，递减，当时，递增，即有处取得极大值，也为最大值，且为由恰好存在两条公切线，即s有两解，可得a的取值范围是，故选:B8.设直线与函数的图象交于点，与直线交于点．则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，用表示出，结合导数判断单调性，求出最值即可.【详解】由题意得，，则．设函数，，则，易知在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，所以的值域为，故的取值范围是．故选：A.二、多项选择题（共4个小题，部分选对得2分，全部选对得5分，共20分）（2021年福建省福州第一中学高三开学考试）9.设是各项为正数的等比数列，q是其公比，是其前n项的积，且，，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.与均为的最大值【答案】BD【解析】【分析】结合等比数列的性质依次分析选项即可.【详解】由题意知，：由得，由得，所以，又，所以，故错误；：由得，故正确；：因为是各项为正数的等比数列，，有所以，所以，故错误；：，则与均为的最大值，故正确.故选：10.已知正项数列的前项和为，若对于任意的，，都有，则下列结论正确的是（）A.B.C.若该数列的前三项依次为，，，则D.数列为递减的等差数列【答案】AC【解析】【分析】令，则，根据，可判定A正确；由，可判定B错误；根据等差数列的性质，可判定C正确；，根据，可判定D错误.【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A正确；由，所以，故B错误；根据等差数列的性质，可得，所以，，故，故C正确；由，因为，所以是递增的等差数列，故D错误.故选：AC.【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据的符号，判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据或与1的大小关系，进行判定；3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.11.对于函数，下列说法正确的是（）A.在处取得极大值B.有两个不同的零点C.D.若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】【分析】根据导函数确定的单调性极值及最值情况，就能确定ABC的正误，对于D，恒成立问题，可通过参变分离求最值来解决.【详解】【解】A选项，，定义域为，，令，解得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，函数在时取得极大值也是最大值，故A对，B选项，时，，，当时，如下图所示：函数有且只有唯一一个零点，故B错，C选项，当时单调递减函数，，，，故C对，D选项，，故，由于函数在上恒成立，，设，定义域为，则，设，解得，单调递增，单调递减，，故，故D对.故选：ACD.12.已知等比数列首项，公比为q，前n项和为，前n项积为，函数，若，则下列结论正确的是（）A.为单调递增的等差数列B.C.为单调递增的等比数列D.使得成立的n的最大值为6【答案】BCD【解析】【分析】首先求函数的导数，根据条件判断，先判断B；再结合等比数列的定义和等差数列的定义判断AC；最后数列前项积的定义判断D.【详解】函数，则，因为，所以，由等比数列的性质可得，所以，所以，由，可得，故B正确；因为等比数列首项，公比为q，所以，则，故为单调递减的等差数列，故A错误；设，则为常数，因为，所以，单调递减，所以为单调递增的等比数列，故C正确；因为，且，所以，，所以使得成立的n的最大值为6，故D正确．故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）（2021年山西高三模拟）13.设数列的前项和为，且，，则__________.【答案】1189【解析】【分析】由，两式相加得，然后进一步通过迭代法可求得答案【详解】解：因为，所以，所以，由，可得所以，所以，故答案为：118914.朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则______．【答案】【解析】【分析】将每个音的频率看作等比数列，利用等比数列知识可求得结果.【详解】由题知：一个八度13个音，且相邻两个音之间的频率之比相等，可以将每个音的频率看作等比数列，一共13项，且，最后一个音是最初那个音的频率的2倍，，，，．故答案为：【点睛】关键点点睛：构造等比数列求解是解题关键.15.已知是，的等差中项，是，的等比中项，则______.【答案】【解析】【分析】由题意得，，消去，可得，化简得，得，则有【详解】由题设可知：由是，的等差中项，则①，是，的等比中项，则②，则有①②可知：③，，，则将③式变形得：，即，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：此题考查等差中项、等比中项的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是由已知条件得，，消去，可得，再利用三角函数恒等变换公式化简可得结果，考查转化思想和计算能力，属于中档题（2021年江苏高三专题练习）16.已知函数在R数上单调递增，且，则的最小值为__________，的最小值为__________.【答案】①..②..【解析】【分析】根据条件分析出，根据函数的单调性分析出的最小值.将待求式子变形为关于的式子，利用基本不等式以及函数单调性求解出的最小值.【详解】解：因为在R上单调递增，则，所以，所以，又因，所以，则，又因为，，令函数，在恒成立，在上单调递减，所以，所以的最小值为，取等号时，所以，又因为，取等号时，且函数，，在上递增，所以，所以的最小值为，取等号时；故答案为：；.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求解最值时，一定要注意取等号的条件是否能满足，若不满足则无法直接使用基本不等式，转而利用对勾函数单调性分析更方便.四、解答题（共6个小题，共70分）17.设数列的前n项和为，从条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答．已知数列的前n项和为，，________．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前n和．【答案】任选三条件之一，都有（1）；（2）．【解析】【分析】（1）若选①可得为常数数列，即可求出；若选②利用时，可得，即可得为常数数列，即可求出；若选③当时，利用可得，即可得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，从而得解；（2）利用错位相减法求和；【详解】选条件①时，（1）时，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件②时，（1）由于，所以①，当时，②，①②得：，，整理得，所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.选条件③时，由于，①②①②时，，整理得（常数），所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以.（2）由（1）得：，设，其前项和为，所以①，②，①②得：，故，所以.【点睛】数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．（2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．（3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．18.已知为等差数列，为等比数列，，，.（1）求和的通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列和等比数列的通项公式可求得数列和的通项公式；（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，推导出：当为正奇数时，，当为正偶数时，，利用裂项相消法可求出，利用错位相减法可求得，进而可求得数列的前项和.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由，，则，可得，所以，因为，，所以，整理得，解得，所以；（2）设数列的前项和中奇数项的和为，偶数项的和为，当为奇数时，，当偶数时，，对任意的正整数，，，①，由①得，②，①②得，化简得因此，数列的前项和为.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和.19.已知函数()．（1）若函数有两个极值点，求的取值范围；（2）证明：当时，．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由题意转化为有两个变号零点，再参变分离后得，利用图象求的取值范围；（2）首先构造函数()，求函数的二次导数，分析函数的单调性，并求函数的最值，并证明不等式.【详解】（1）的定义域为，，若函数有两个极值点，则有两个变号零点，等同