湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高一上学期12月联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若A=x∈Zx−28−x≤0，B={x|log5x<1}，则A∩B=(    )A.{2,3,4} B.⌀ C.{1,2} D.{2,3}2.已知a，b，c∈R，则下列结论中正确的有(    )A.若a>b且1a>1b，则ab>0 B.若c>a>b>0，则ac−a>bc−bC.若a>b>c>0，则abb，则ac2>bc23.已知a>1，则函数y=ax与函数y=loga(−x)的图像在同一坐标系中可以是(    )A. B.C. D.4.若a>0，b>0，lga+lgb=lg(a+2b)，则2a+b的最小值为(    )A.9 B.8 C.7 D.65.函数f(x)与指数函数g(x)=ax(a>0且a≠1)互为反函数，且g(x)过点(−2,4)，则f(1)+f(2)=(    )A.−1 B.0 C.1 D.146.已知a=2log43，b=log48，c=30.6，则(    )A.a0，若f(f(t))+3≥0，则实数t的取值范围是(    )A.[3,+∞) B.(−∞,−2] C.(−∞,3] D.[−2,+∞)8.已知定义在R上的奇函数y=f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)=f(1−x)，当−1≤x<0时，f(x)=log2(−x)，则函数g(x)=f(x)−2在(0,8)内所有的零点之和为(    )A.6 B.8 C.10 D.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数中最小值为2的是(    )A.fx=ex+2 B.fx=log2x2+4C.fx=x2+2x2+1 D.fx=2x−x−1+1810.下列命题为真命题的是(    )A.幂函数fx的图象过点P14,2，则f(x)=x−2B.函数fx的定义域为R，若fx是奇函数，fx+1是偶函数，则f2024=0C.函数fx=x2+2x−3的零点是−3,0，1,0D.函数fx=lnx−3x的零点所在区间可以是2,311.已知函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D，若存在非零常数t，使得对任意x∈I，x+t∈D，都有f(x+t)0)，若f(x)是(−2,−1)上的“1−衰减函数”，则a的最大值为12D.已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=|x−a|−a(a>0)，若f(x)是(−2,−1)上的“1−衰减函数”，则a的最小值为23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设lg 2=a，lg 3=b，则log512=__________.(结果用a和b表示)13.“4x+p<0”是“x2−x−2>0”的充分不必要条件，则实数p的取值范围是          ．14.已知实数a，b满足4a+2a=3，log233b+1+b=23，则2a+3b=__________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知命题p：函数f(x)=log3x−a在区间19,9上没有零点；命题q：∃x0∈[0,2]，使得x0 ​2−3x0+5−a>0成立．(1)若p和q均为真命题，求实数a的取值范围；(2)若p和q其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a的取值范围．16.(本小题15分)某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若景区开业后的第一年接待游客x万人，则需另投入成本P(x)万元，P(x)=9,&00−log3(ax+1),&x≤0这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．已知__________，若函数f(x)为奇函数，且函数y=f(ax−m)的零点在区间(−2,3)内，求m的取值范围．18.(本小题17分)已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且∀x，y∈(−∞,0)∪(0,+∞)，都有f(xy)=xf(y)+yf(x)成立．(1)求f(1)，f(−1)的值，并判断f(x)的奇偶性．(2)已知函数g(x)=f(x)x，当x>1时，g(x)<0．(i)判断g(x)在(0,+∞)上的单调性；(ii)若∀x∈[0,1]均有ga⋅2x+1+g2x0且a≠1时，loga(m×n)=logam+logan对一切m>0，n>0恒成立．学生小刚在研究对数运算时，发现有这么一个等式log2(1×1)=log21×log21，带着好奇，他进一步对log2(m×n)=log2m×log2n进行深入研究．(1)若正数m，n满足log2(m×n)=log2m×log2n，当m=8时，求n的值；(2)除整数对(1,1)，请再举出一个整数对(m,n)满足log2(m×n)=log2m×log2n；(3)若m>1，求使得等式log2(m×n)=log2m×log2n成立的正整数对(m,n).参考答案1.C 2.B 3.A 4.A 5.A 6.D 7.D 8.D 9.BD 10.BD 11.AC 12.2a+b1−a 13.p丨p⩾4 14.2 15.解：(1)函数f(x)=log3 x−a在区间19,9上单调递增，若p为真命题：∴f(x)=log3x−a在区间19,9上没有零点，∴f(19)=log319−a=−2−a≥0或者F9=log39−a=2−a⩽0，得a≤−2或a≥2；若q为真命题：令f(x)=x2−3x+5−a(0≤x≤2)，∴a0，∴f(−x)=log3(−x+1)，∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴−f(x)=log3(−x+1)，∴f(x)=−log3(−x+1)(x<0)，得a=−1，经检验，满足题意，∴f(x)=log3(x+1),x>0,−log3(−x+1),x≤0,易知f(x)在R上是增函数，且f(0)=0，∴f(x)有唯一零点0．∵函数y=f(−x−m)的零点在区间(−2,3)内，∴−x−m=0在(−2,3)上有解，∴m=−x，即m∈(−3,2)． 18.解：(1)令x=y=1，得f(1)=2f(1)，解得f(1)=0，令x=y=−1，得f(1)=−2f(−1)=0，故f(−1)=0．令y=−1，得f(−x)=xf(−1)−f(x)，即f(−x)=−f(x)，又f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，所以f(x)是奇函数．(2)(i)由f(xy)=xf(y)+yf(x)，可得f(xy)xy=f(y)y+f(x)x，即g(xy)=g(x)+g(y)．∀x1，x2∈(0,+∞)且x1x1>0，所以x2x1>1，从而gx2x1<0，得gx2−gx1<0，因此g(x)在(0,+∞)上单调递减．(ii)因为g(−x)=f(−x)−x=f(x)x=g(x)，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，所以g(x)是偶函数．ga⋅2x+1+g2x=ga⋅4x+2x2或a⋅4x+2x<−2，由题可知，只需考虑a⋅4x+2x>2成立，从而有a>2−2x4x=212x2−12x=212x−142−18．因为x∈[0,1]，所以12x∈12,1，则212x−142−18的最大值在x=0处取到，故只需a>21−142−18=1．综上，满足条件的最小的正整数a=2． 19.(1)解：∵log2(8n)=log28×log2n=3log2n，∴log28+log2n=3log2n，即2log2n=3，∴n=232=22．(2)解：log2(4×4)=log24×log24，所以整数对(4,4)满足．(3)证明：∵log2(m×n)=log2m×log2n，∴log2m+log2n=log2m×log2n，且m，n∈N∗．当m=2时，1+log2n=log2n，显然无解．当m=3时，log23+log2n=log23×log2n，可得log2n=log23log23−1=log323，无正整数解，同理，当n=2和n=3时，m也无正整数解．当m≥4，n≥4时，log2n=log2mlog2m−1=1+1log2m−1，∵log2m≥2，∴由复合函数单调性可得1+1log2m−1∈(1,2]，又∵log2n≥2，∴当且仅当m=n=4时，原等式成立，即若m>1，使得等式log2(m×n)=log2m×log2n成立的正整数对仅(4,4)．