湖南省岳阳市汨罗市第一中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题 Word版无答案

2024年高二上学期数学月考试卷一、单选题（每题5分，共40分）1已知集合，集合，则（）A. B. C. D.2.已知数列是首项为5，公差为2的等差数列，则（）A. B. C. D.3.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.14.已知数列中，，若，则（）A.4 B.5 C.6 D.75.如图所示，点是双曲线的左、右焦点，双曲线的右支上存在一点满足与双曲线的左支的交点平分线段，则双曲线的渐近线斜率为（）A.3 B. C. D.6.设椭圆的左、右顶点为，，左、右焦点为，，上、下顶点为，.关于该椭圆，有下列四个命题：甲：；乙：的周长为8；丙：离心率为；丁：四边形的面积为.如果只有一个假命题，则该命题是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁7.已知不共线的平面向量、、两两的夹角相等，且，，，实数，则最大值为（）A. B. C. D.58.已知是抛物线上异于原点的两点，且以为直径的圆过原点，过点向直线作垂线，垂足为，则的最大值为（）A. B. C. D.二、多选题（共20分）9.已知曲线，则（）A.的焦点在轴上 B.的短半轴长为C.的右焦点坐标为 D.的离心率为10.如图所示，已知，，，作以为直角顶点的等腰直角，作点和点的中点，继续作以为直角顶点的等腰直角，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是（）A.所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列B.第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为C.点的纵坐标为D.若记第个等腰直角三角形的面积为，则11.已知抛物线：过点，焦点为，准线为，过点的直线交于，两点，，分别交于，两点，则（）A. B.最小值4C.准线的方程为 D.以为直径的圆恒过定点，12.已知正方形的边长为2，点分别是线段上的动点，若满足，则下列说法正确的是（）A.当时，则B.当时，点分别是线段中点C.当时，D.当时，的最小值为三、填空题（共20分）13.数列满足，且，则________．14.从1，2，，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为____________.15.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则的值是__________.16.已知正四棱锥底面边长为2，高为1，动点P在平面内且满足，则直线与所成角的余弦值的取值范围为________．四、解答题（共70分）17.已知直线，且，（1）求的值；（2）直线过点与交于，，求直线的方程.18.已知双曲线标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若，.（1）求双曲线标准方程；（2）过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.19.如图，在四棱锥中，平面是边长为的等边三角形，，．（1）证明：平面平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的长．20.已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T．（1）求的方程和双曲线的渐近线方程；（2）设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切；（3）设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．21.已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）当时，求的面积.22.已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．（1）求的方程，并说明轨迹的形状；（2）设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．①当时，求证：的值及的周长均为定值；②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．