黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析

哈九中2024级高一学年12月月考数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的性质，求出集合，利用一元二次不等式的解法，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由，得到，所以，由，得到，又，所以，得到，故选：C.2.已知，，则使成立的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】解指数不等式，再结合选项及充分不必要条件的定义即可解决．【详解】，因为，且函数在R上单调递减，所以，解得，因为能推出，不能推出．所以，使成立的一个充分不必要条件为．故选：B．3.已知，则下列结论正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】根据不等式基本性质，利用作差比较法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A，若，，因此A错误；对于B，，则，即，因此B错误；对于C，由，又，，则，，因此，即，因此C错误；对于D，由，又，则，，因此，即，因此D正确；故选：D.4.已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设扇形的半径为，列方程求出的值，再计算扇形的面积.【详解】设扇形的半径为，则弧长为，周长为，解得：，则此扇形的面积为：，故选：D5.设，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解.【详解】因为，所以，因为，，所以.故选：C6.通过加强对野生动物的栖息地保护和拯救繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（的单位：年），其中为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】C【解析】【分析】利用列方程，结合对数运算求得.【详解】根据题意，所以，所以，所以，得.故选：C.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的性质结合图象逐项排除即可求解.【详解】设，定义域为R，且，所以该函数为奇函数，排除B；当时，，排除C；由复合函数的单调性可知，该函数在上单调递增，排除D.故选：A.8.已知，则方程实数根的个数是（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】由方程先求出或或，再解方程即可．【详解】解：①当时，，解得，，或，或，故或；②若，则，或，或，若，则或，则或或；若，则或，则（舍去）或或，综上所述，方程实数根的个数是7，故选：C．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分）9.下面说法正确的有（）A.化成弧度是B.终边在直线上的角α的取值集合可表示为C.角α为第四象限角的充要条件是D.若角α的终边上一点P的坐标为，则【答案】AD【解析】【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.【详解】对于A，根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；对于B，易知终边在直线上的角α可表示为，即B错误；对于C，易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；对于D，由三角函数的定义可知角α的终边上一点的坐标为，则，故D正确；故选：AD.10.设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（）A.有最小值1 B.有最小值2C.有最大值 D.有最大值8【答案】AC【解析】【分析】利用乘“1”法即可判断A；根据基本不等式即可判断B；平方后利用基本不等式即可判断C；利用常用不等式即可判断D.【详解】因为正实数满足，所以，当且仅当时等号成立，A正确；，当且仅当时等号成立，B错误；，，当且仅当时等号成立，C正确；，当且仅当时等号成立，D错误．故选：AC．11.已知函数的定义域是都有，且当时，，且，则下列说法正确的是（）A.B.函数在上单调递增C.D.满足不等式的的取值范围是【答案】ABD【解析】【分析】A选项，令得f1；B选项：由函数单调性的定义判断函数的单调性；C选项，赋值得到；D选项，根据C选项，由求得，，变形得到，结合在定义域上单调递增，得到不等式，求出解集.【详解】A选项，令得，∴f1=0，A正确；B选项，任选，且，中，令，得，因为当时，，又，所以，故，所以在定义域0,+∞上单调递增，B正确；C选项，中，令得，故，故，C错误；D选项，因为，所以，中，令得，∵，∴，由于在定义域0,+∞上单调递增，故，解得，D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分）12.________．【答案】【解析】【分析】由三角函数的诱导公式化简即可；【详解】，故答案为：.13.已知定义域为的奇函数，则的值为______.【答案】0【解析】【分析】由奇函数的定义得到定义域关于原点对称求出参数，再由f−x=−fx求出参数以及，然后求的值【详解】∵定义域为，∴，∴，∵f−x=−fx，即∴，∴，∴.故答案为：014.给定函数，若在其定义域内存在使得，则称为“函数”，为该函数一个“点”．设函数，若是的一个“点”，则实数的值为________．若为“函数”，则实数的取值范围为________．【答案】①.3②.【解析】【分析】对于第一空，由题可知，代入相应解析式可得答案；对于第二空，为“函数”，则函数，与函数图象有交点，据此可得答案.【详解】对于第一空，因是的一个“点”，则；对于第二空，由题可知为“函数”，即函数在定义域内的图像中，存在中心对称的两点，即函数的图象，与函数关于原点对称的函数的图象有交点，即方程有大于0的解.，当且仅当，即时取等号，故答案为：.故答案为：3；.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）化简：；（2）已知，求的值；（3）已知，求的值．【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式直接化简即可；（2）由同角的三角函数关系结合正余弦函数值域计算即可；（3）由同角的三角函数的商数关系和平方关系计算即可；【详解】（1）.（2），，，.（3）.16.已知函数且（1）求函数解析式；（2）求函数在上的值域；（3）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由列式求出即得函数解析式.（2）令，求出二次函数在闭区间上最值即可得值域.（3）令，将方程有解问题转化为函数图象有交点问题求解.【小问1详解】函数中，由，得，即，而且，解得，所以.【小问2详解】令，当时，，则，当时，；当时，，所以在上的值域为.【小问3详解】令，当时，，方程在上有解等价于函数的图象与直线在时有交点，由（2）得，在时的值域为，因此，解得，所以实数m的取值范围为.17.已知函数．（1）若，求函数的定义域；（2）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；（3）若对于恒成立，求实数m的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由对数函数的真数大于零解不等式即可；（2）由对数型复合函数的单调性求解即可；（3）由对数的单调性和基本不等式求解即可；【小问1详解】时，可知，小问2详解】易知u定义域内单调递增，在上单调递减，所以要满足题意需；【小问3详解】由，整理得：时，恒成立，易知，当且仅当时取得最大值，即．故最小值为．18.对于函数在其定义域内存在实数使成立，则称是的一个不动点．已知函数．（1）当时，求函数的不动点；（2）当时，若函数有两个不动点为，且，求实数b的取值范围；（3）若函数的不动点为，且对任意，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）0和4；（2）（3）或【解析】【分析】（1）由函数不动点定义求解即可；（2）由函数不动点定义结合二次函数根的分布特征求解即可；（3）先由函数不动点的定义求出的表达式，再由条件得到的值域是值域的子集，然后由二次函数的性质得到的范围，再分与时结合函数的单调性和集合间的包含关系求解即可；【小问1详解】函数的不动点即为的实数根，当时，问题转化为方程的实数根，解得或，所以函数的不动点为0和4；【小问2详解】由题意可得方程有两个不相等的实数根，即有两个不相等的实数根且，设，令，解得，所以实数b的取值范围为；【小问3详解】由题意可知，2为方程即的两根，则，解得，从而，因为对任意，总存在，使得成立，即，由题可知的值域是值域的子集，因为在上是减函数，则，即的值域为，因为且，当时，，不合题意舍，当时，在上是增函数，则，因为，则，解得，当时，在上是减函数，则，因为，则，解得，故m的取值范围是或.19.已知函数（1）当时，解不等式；（2）当时，求与的交点的横坐标；（3）当为偶函数时，，，恒成立，求λ取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）构造函数，利用函数的单调性和指数函数的性质求解即可；（2）令再结合指数函数和对数函数互化求解即可；（3）由偶函数的性质和指数函数的化简求出，再由指数函数的运算求出等号左边为零，右边结合基本不等式求解即可；【小问1详解】当时，，所以不等式，即，设，易知单调减函数，所以.所以不等式的解集为.【小问2详解】当时，，，所以，令，解得或（舍去），所以，所以.【小问3详解】，即，通分，化简可得，所以或（舍去），所以，，，当且仅当即时取等号，恒成立，即恒成立，只需.