安徽省江南十校2024-2025学年高一上学期12月份分科诊断考试 数学（含答案）

绝密★启用前2024年“江南十校”高一12月份分科诊断联考数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知命题，则它的否定为（）A. B.C. D.2.已知集合，若且，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.若，则（）A. B. C. D.4.设函数，若，则实数的值等于（）A. B. C.2 D.5.已知幂函数（为常数）具有性质：（1）定义域为，（2）图象关于y轴对称，则的可能取值为（）A. B. C.2 D.6.已知且，若，则（）A. B. C. D.7.定义在上的函数可表示为一个奇函数与偶函数的和，则不等式的解为（）A. B. C. D.8.已知，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.如图，U是全集，M，N是U的两个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A B. C. D.10.德国数学家狄利克雷（P．G．L．Dirichlet，1805-1859）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，而不需管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示．例如，下列说法正确的是（）A. B.为偶函数C.的值域为 D.是函数的一条对称轴11.已知函数若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（）AB.任意直线都与函数的图象有交点C.当时，取值范围为D.当时，的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.化简：_______．13.函数的单调递减区间是_______．14.记中的最大者为，则的最小值为_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数定义域为A，集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围．16.已知函数．（1）若函数具有奇偶性，试求实数的值；（2）若函数为奇函数，判断函数单调性，并证明．17.某科研部门有甲乙两个小微研发项目，据前期市场调查，项目甲研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，项目乙研发期望收益（单位：万元）与研发投入资金x（单位：万元）的关系为，，且．（1）求实数a，b，c的值；（2）已知科研部门计划将27万元资金全部投资甲乙两个研发项目，试问如何分配研发资金，使得投资期望收益最大？并求出最大期望利润．18.已知二次函数图象经过，且不等式的解集为，（1）求函数的表达式；（2）若对任意的恒成立，求实数m的取值范围．19.如果函数的每一个函数值y都有唯一的自变量x和它对应，则函数有反函数，记为．定义：若对给定的实数，函数与互为反函数，则称满足“a和性质”；若函数与互为反函数，则称满足“a积性质”．温馨提示：如何求函数的反函数，可参考函数的反函数求解过程．令，则，解得，即．又函数的值域为R，故其反函数为．（1）求函数的反函数；（2）判断函数是否满足“积性质”，并说明理由；（3）求所有满足“2025和性质”的一次函数．2024年“江南十校”高一12月份分科诊断联考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.【答案】D2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.【答案】AC10.【答案】BD11.【答案】ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.【答案】1813.【答案】14.【答案】3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.【解】【分析】（1）由对数函数定义域可得集合A，然后由交集定义可得答案；（2）由题可得，讨论a的取值，可得相应集合A，即可得答案.【小问1详解】由可得．当时，，故；【小问2详解】因为“”是“”的必要不充分条件，所以．当时，，此时，则满足题意；当时，，要使得，则，解得；当时，，要使得，则，解得．综上：.16.【解】【分析】（1）根据奇偶函数定义，列式求解；（2）根据函数单调性定义判断证明.【小问1详解】若函数为偶函数，则，即，即恒成立，则；若函数为奇函数，则，即，即恒成立，则．综上知，函数具有奇偶性时，．小问2详解】函数为奇函数时，是R上的增函数，证明如下：由（1）知函数奇函数时，，此时．设，则，，则，故，即，故是上的增函数．17.【解】【分析】（1）由结合解析式可得答案；（2）设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，由题可得表达式，后由对数运算结合基本不等式可得答案.【小问1详解】由，可得，解得故；小问2详解】设项目甲研发投入资金为万元，则项目乙投入万元，投资收益为，则，其中.则由基本不等式可得，当且仅当时等号成立.所以，所以，当且仅当时等号成立.所以项目甲投入3万元，项目乙投资24万元时，科研部门获得最大利润30万元．18.【解】【分析】（1）根据不等式的解集为，可设，再由二次函数图象经过，求出的值,得到的解析式;（2）由解析式，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，求出的值域，再由，求出参数的范围.【小问1详解】由题知不等式的解集为，可设，，即．又，解得故．【小问2详解】由（1）知，则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，，因此函数的值域为．不等式可化，而，故恒成立恒成立．令，则，函数在区间上单调递增，而，所以，故实数的取值范围为．19.【解】【分析】（1）由题意中反函数的求解方法可得；（2）先求的反函数，再验证“积性质”即可；（3）设函数满足“2025和性质”，先求其反函数，再利用“和性质”定义求出即可；【小问1详解】令，可知函数在区间上单调递增，故，又，则，即．故函数的反函数为【小问2详解】由，得，则函数的反函数为，因此．再令，可得，因此函数的反函数为，与是同一函数，故函数满足“积性质”．【小问3详解】设函数由，得，则，而，得反函数，由“和性质”定义可知对恒成立．，即所求一次函数．