广西柳州市2025届高三第二次模拟考试数学试卷（含答案）

柳州市2025届高三第二次模拟考试数学（考试时间120分钟满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设全集U=&,3,6,8.9},4={1,6},8={3,6,8},则（34加5=（）A.{6}B.{3,8}C.{8,9}D.{3,6,8}2.命题“Vz>0./-故+2>0”的否定是（）A.Vr>0,x2-3Lr+2^0B.VxMO,/一舐+2m0C.3r>0,x2-舐+2MoD.HrMO一舐+2MO3.若点A（2.1）在抛物线/=2皆S>0）上，F为抛物线的焦点.则|AF|=（）A.1B.2C.3D.44.若cos(a—取=/，则sin2a=()A--8B.fC.77D.85.180的不同正因数的个数为()A.8B.10C.12D.186.若(1—%)5=%+0］力+42/+・・・+。5>2：5,则&+04=()A.-16B.10C.15D.167.在平面直角坐标系MX中，点P在直线2r+3y+l=°上,若向址a=（2,3）,则而在;;上的投影向俄为（）A•（一卷-揖B.（一看看）（-睿-嚼D.(_嚼普柳州市2025届高三第二次模拟考试数学第1天（共4页）8.已知/(矽是定义在R上的偶函数，且/3+2］也是偶函数，且则实数a的范围是()A.(l,+oo)B.(-00,1)C.(1,1)D.(-ool)U(L+oo)0QJ二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知.牙，丁£夫，15］=3,|夕=5,则()A.y>xB.x+j>1C.xy<^D.丘+石<及10.如图,直四棱柱ABCD-AtBtCiDi的底面是梯形，AB//CD,ADxDC,BC=CD=2,DD】=AB=1,P是棱CG的中点，Q是棱GDi上一动点(不包含端点)，则()A.AC与平面BPQ有可能平行B.场功与平面BPQ有可能平行C.三角形BPQ周长的最小值为遮手型WD.三棱锥A-8PQ的体积为定值第10题图11.已知函数/S)=cosZr+|sinH|』i］()A./(力在(0,3上单调递增B./⑵关于直线］=》对称C./U)的值域为［。曲D.关于x的方程fS=a在区间［0述］上有实根,则所有根之和组成的集合为加,2k}三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分12.设A,B是一个随机试验中的两个事件，若RB)=1,P(A|B)=|，则P(AB)=.13.记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,6,c，若3=三,6=2,a2+c2=3ac，则△ABC的面积为.14.已知函数/⑶=3-lXz+3X?+az+碰UGR)关于直线1=-2对称，则函数/⑶的所有零点之和为,/(1)的最小值为.柳州市2025届南三第二次模拟考试数学第2页(共4页)四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤・15.(13分)某公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调企了500名消费者.得到下表:满意度—性别合计满意不满意男22030250女23020250合计45050500⑴依据小概率值a=0.1的独立性检验,能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关；(2)若用频率估计概率,从该地区消费者中随机选取3人，用X表示不满意的人数，求X的分布列与数学期望.ii(ad-bcf附：/=其中?i=a+b+c+d.(a+b)[c+d)[a+c)(jb+d)a0.10.050.01%2.7063.8416.635,216.(15分)已知双曲线C的方程为芍一A=13>0,6>0),虚轴长为2m,点A(2,3)在曲线abC上.(1)求双曲线C的离心率(2)过原点O的直线与双曲线C交于S,7两点，已知直线AS和人丁的斜率存在.证明:直线AS和AT的斜率之积为定值.17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，ZB4D=90°,APAB,APAD与ABCD均为等这三角形.⑴证明：PGBD;(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.第17题图柳州市2025届南三第二次模拟考试数学第3页(共4页)18.(17分)已知函数/Cr)=0),g(x)=AJ7.(1)求/U)在(0./。)处的切线；(2)若/U)与g。)的图象有交点.①当a=0时,求。的取值范围；②证明：/+小>津..19.(17分)对于数列｛%｝，规定｛△%｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中△%=%+】一%伍GN'),规定｛△?%｝为数列｛%｝的二阶差分数列，其中/%=△%+】-式eN).(1)数列｛%｝的通项公式为%=仇-疗•试判断数列｛△%｝,｛△?%｝是否为等差数列？请说明理由.⑵正项等比数列例｝的公比为由>2)，对于任意的力WN'，都存在WN•，使得及bn=bm，求9的值；⑶设C产期F+21同为数列匕｝的一阶差分数列,令”=华:.其中y3,证明Ml*柳州市2025届高三第二次模拟考试敬学第4页(共4页)柳州市2025届数学高三第二次模拟考试参考答案一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）题号12345678答案BCBCDCAC二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得。分，部分选对的得部分分.9.ACD10.ACD11.BCD91011选2个选2个选1个选1个选1个选2个(AC选3个(AC选3个选3个（A或（A或（B或C(BC或或ADACD或AD(ACD)(BCD)C或D）C或D）或D）BD或CD)或CD)或CD)2分4分6分2分4分6分2分4分6分三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.113.214.-8,-1642四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）解：（1）零假设为“。：消费者对新产品的满意度与性别无关，则2=500x(220x20-230x30X=20%222<27()6=“250x250x50x4509010所以，根据小概率值a=0』。的独立性检验，没有充分证据推断“。不成立,因此可以认为“0成立，即认为消费者对新产品的满意度与消费者性别无关（2）X的可能取值为0,1,2,3,且X〜8（3,需）9,729则P(X=0)=(》=1000尸(X=l)=C；xex(^)2=2431000x2=P(X=2)=C；x(Q27101000P(X=3)=C；x(Q=11000X的分布列为X0123P72924327110001000100010003所以X的期望为E(X)=如=本‘2b=2也Q=116.(15分)解：⑴由题意〈49=>«(-,从而=/+〃=4=。=2=1Z>=V3所以双曲线方程，一［=1,离心率e=g=2(2)证明：由题意知点S,7关于原点对称不妨设Sa。,”),则T(一X。,一光)设直线4s的斜率为《，直线4T的斜率为因吹号人碧廿号碧⑴2又点SQoJo),在曲线C上，即考一当■=129=%=1+葭，代入(*)得脩&=火-2=31+区一43所以直线AS的斜率和直线AT的斜率之积为定值3.法二设过原点的直线ST方程为：y=kx,代入双曲方程3一2=1,30,..“2=373得(3-/)，=3,由题意知3—二工=>x=±,,不妨设3-公J3-公c,由上k、石儡、S(7;T(一~1=7~7/)，从而。3—kJ3—Zy3-k、3—k=3/一9(3-公)=12公-27=3，=3-4(3—公)=4k』=3-k2所以直线AS的斜率和直线AT的斜率之积为定值3.17.（15分）（1）证明：过尸作POJL平面Z5CD,垂足为。由AB,AD都是等边三角形知PA=PB=PD:.OA=OB=OD,又/胡。=90。，所以。为8。中点又=AOLBD又ABCD为等边三角形，；.CO上BD,所以40,C三点共线,即/C_L8D又POJ.即，所以8D_L平面P4C,又ZCu平面以CJ.BD1.PC（2证明：）以。为原点建系如图，不妨取力B=2,由题意知AO=&,PO=6,BD=2®,OC=76.则4（0,-V2,0）,0,0）,C（0,瓜0）,DQ&,0,0）,P（0,0,&）pa=（0,-0,-夜），丽=（V5,o,-&）,元=电瓜设面以8的一个法向量为7=（xj,z）,则n*PA-0j-&y-yjlz=0取x=z=l,y=—1即G=(l,-l,l)n^PB=Q显设面pc。的一个法向量为£=a,y,z),则-0[y/6y->/2z-0取x=-&y=l,z=区即■=(-框1,收)m，PD=0[-yJ2x-V2z=0----m^n—>/3—1+>/3y/21cos=，__,Imll〃l=73x77~所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为应2118.(17分)解：(1)f'(x)=ex-cacosx,故r(O)=l-ac,又/(O)=e°-〃sinO=l故在(0,/(0))处的切线方程为^-1=(1-ac)x，即(1-ac)x-y+1=0(2〉①当a=0时，/(x)=e、，由/(O)wg(O)故x>0,由/a)=g(x)='=W设(x)=2,则ex(Jx—ex1h'(x)=---------x函数/»(x)在(0,g)上单调递减，在(g,+8)单调递增.•.x>0时，力(x)的最小值为a(g)=J二所以6的取值范围［、3,+8)②由题意，存在％>0使得f(x0)=g(x0)=>ex°-asincx。=久怂=>asincxQ+6扁=*设a=Z8se,b=Zsine,Z>0,则Zsin以。cos8+Z6=e=ex0<,tylx0+sin2cx0、*=>Z>—7====“o+sin2%由％>0,故sin2cx0<|sincxQ|‘『—N-----y/2ey/\+Cy]xQYl+C故2+/=>，_,即证。1+C19.(17分)解：⑴△%=”+]-4“=7?-(〃-1)3=3〃2-3〃+1△%=1,A%=7,ba、—19/.△/一△%=6wAa3-=12所以｛△/｝不是等差数列△2a„=M”+i-=6n,则AZa.+i-&an=6,A2at=6所以｛A?”,,｝是首项为6,公差为6的等差数列(2)由题意a=4.，4>0管瓦=地--%f)=心2-2%+b〃=如+-2如+如~又eN*y3meN*,於bn=bm即4夕+1_241+4夕'一=4夕1=>^n+,-2/-/-'=<-*=/宁-2夕+1)=/=(小)2=夕…vq>2,：.(^-1)2>1,则加一〃>0若;《_〃=],即(g—l)2=g=g2_3q+]=0,解得g=.?,g=^(舍去)即当夕=土皆时，^neN\BmeN\^bn=bm当加一〃N2时，则（［一1）2=4‘-2/＞（夕一］）2,对v〃eN•，不存在加6%・工2匕=〃