吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年高二上学期期末考试 数学试卷（含解析）

吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年上学期期末考试高二年级数学本试卷共4页。考试结束后，将答题卡交回。注意事项：1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（    ）A． B． C． D．2．已知向量，，且，那么（    ）A． B． C． D．53．在数列中，若，，则下列数不是中的项的是（    ）A． B． C． D．4．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为线段的中点，则直线的斜率为（   ）A． B． C． D．5．已知为等差数列的前项和，公差为．若，则（    ）A． B． C． D．有最小值6．已知点为抛物线上一动点，点为圆：上一动点，点为抛物线的焦点，点到轴的距离为．若的最小值为3．则（   ）A．1 B．2 C．3 D．47．已知数列满足，在，之间插入个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（）A．151 B．170 C．182 D．2078．已知双曲线的左右焦点分别为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的交点为，若的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知空间中三点，则（   ）A．B．方向上的单位向量是C．是平面的一个法向量D．在上的投影向量的模为10．已知双曲线的左、右焦点分别为、，圆与的渐近线相切．为右支上的动点，过点作双曲线的两渐近线的垂线，垂足分别为，则以下结论中正确的有（    ）A．两渐近线夹角为 B．的离心率C．为定值 D．的最小值为11．已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（    ）A．数列为等比数列 B．数列为常数列C． D．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为．13．已知数列的前项和为，则．14．设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为．四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知椭圆QUOTE的右焦点为QUOTE，且经过点（1）求椭圆C的标准方程：（2）经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．16．（15分）已知数列的前n项和为，，．（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．17．（15分）如图，在四棱锥中，平面，，，为的中点．（1）若，证明：平面；（2）已知，，，斜线和平面所成的角的正切值为2，求平面和平面的夹角的余弦值．18．（17分）已知数列的前项和为，，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列，（ⅰ）求数列的前项和；（ⅱ）若成等比数列，求数列中的最大项及此时n的值．19．（17分）已知动点M（不与坐标原点O重合）在曲线上运动，N为线段OM中点，记N的轨迹为曲线．（1）求N的轨迹方程；（2）P为不在x轴上的动点，过点作（1）中曲线的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q，（ⅰ）求证：R是一个定点；（ⅱ）求的最小值．吉林省普通高中G8教考联盟2024-2025学年上学期期末考试高二年级数学学科参考答案一、单选题1．【答案】A【详解】因为直线的斜率为，故该直线的倾斜角为.2．【答案】C【详解】由向量，，且，得，则，则.3．【答案】A【详解】因为，，所以，，，，…，故是以为周期的周期数列，-1不是数列中的项，4．【答案】D【详解】显然在椭圆内，当直线的斜率不存在，即直线方程为时，可得，或，，此时不是线段的中点，所以直线的斜率存在，设，，则，两式相减并化简得，又，，代入得，解得，5．【答案】B【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即，可得，则，故A错误；对于选项B：因为，则，所以，故B正确；对于选项D：因为，且，可知无最小值，故D错误，对于选项C：因为，所以，故C错误；6.【答案】B【详解】圆的圆心，半径，抛物线的焦点为，准线方程为，则由抛物线的定义知点到y轴的距离为，则，由图知，当共线，且在线段上时，最短，此时，而，则，所以.7．【答案】B【详解】可知在数列中中的项有7项，则这7项的和为77，则的前100项和为77+93=1708．【答案】D【详解】设双曲线的半焦距为c，则，由对称性，不妨令与平行的渐近线为，则直线的方程为：，即，设的内切圆与三边相切的切点分别为如图所示，则，即，即轴，圆的半径为，则，点到直线的距离为，整理得且，解得，所以双曲线的离心率.二、多选题9．【答案】ACD【详解】由题意：，，.对A：因为，故A正确；对B：因为，即方向上的单位向量是，故B错误；对C：因为，，所以成立，故是平面的一个法向量，故C正确；对D：由，故D正确.10．【答案】BCD【详解】因为圆与的渐近线相切，所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即，所以双曲线，所以双曲线渐近线为，所以两渐近线的倾斜角为和，则渐近线夹角为，则A错误；因为，所以离心率，B正确；设，则，所以，C正确；因为由余弦定理可得所以，当且仅当时，等号成立，此时点为双曲线的顶点，所以的最小值为，D正确.11．【答案】AD【详解】当时，，即，又，故为等比数列，A正确；时，，即，故不为常数列，B错误；故为等比数列，首项为2，公比为3，故，故，，……，，以上20个式子相加得：，C错误；因为，所以，两式相减得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和该式，故，令得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符号该式，故，令得：，综上：，D正确.三、填空题12．【答案】和【详解】圆的圆心和半径分别为，当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意，当直线有斜率时，设，此时圆心到直线的距离为，解得，此时直线方程为，即，综上可得和13．【答案】100【详解】，，是等比数列，，14.【答案】-4【详解】如图，设，则，因为是圆的直径，所以，所以，即，所以，，所以直线的斜率为.四、解答题15.【详解】（1）由题意得，——2分解得，——2分故椭圆的标准方程为．——1分（2）由题意可得直线的方程为，与椭圆方程联立，得，——2分设，，则，——2分故——2分．——2分16．【详解】（1）由，则，又，——3分所以数列是首项、公差均为的等差数列，则，——2分所以.——2分（2）由，则，——3分所以，——3分所以.——2分17．【详解】（1）因为平面，，平面，可知，，在中，为的中点，则，因为，所以，则，，在中，，——2分即，所以，即，——2分又因为，平面，平面，——2分所以平面．（2）由题意可知：平面，所以是斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角，在中，，所以．又因为，故，，两两垂直，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，——2分则，，，，，，可得，，，，设平面的法向量为，则，即，可取；——2分设平面的法向量为，则，即，可取；——2分从而可知，——2分所以平面和平面的夹角的余弦值为.——1分18．【详解】（1）∵，∴当时，，两式相减得，，整理得，即，——2分∴当时，，满足此式，——2分∴.——1分①由（1）得，，∴，，——2分，——2分∴——2分.②由①得，，∴，∵成等比数列，∴，即，∴，——2分∴，由在上单调递减，在上单调递增，——2分则当时单调递增，当时单调递减，，，因此最大项为，此时或．——2分19．【详解】（1）设，，N为线段OM中点，，——2分，又，代入得．故点N的轨迹方程是——3分．（2）（ⅰ）证明：设点，设以为切点的切线方程为，联立抛物线方程,可得，由，得，所以切线AP：，同理切线BP：——3分点P在两条切线上，则，由于均满足方程，故此为直线AB的方程，由于垂直即，则，——2分所以直线AB的方程，恒过；——1分（ⅱ）解：由（ⅰ）知，则，直线联立直线AB与直线OP的方程得，——2分——2分因此，时取等号.即的最小值是.——2分