河南省三门峡市2025届高三上学期第一次大练习试题（期末）数学试题（含答案）

河南省三⻔峡市2024-2025学年⾼三上学期第⼀次⼤练习数学试题2025年1⽉14⽇注意事项：1.答题前，考⽣务必将⾃⼰的姓名、考⽣号填写在试卷和答题卡上，并将考⽣号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题答案使⽤2B铅笔填涂，如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其他答案标号；⾮选择题答案使⽤0.5毫⽶的⿊⾊墨⽔签字笔书写，字体⼯整、笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（⿊⾊线框）内作答，超出答题区域书写的答案⽆效．4.考试结束后，将答题卡交回．第I卷（选择题共58分）⼀、单选题：本题共8⼩题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知集合，则A.B.C.D.2.在复平⾯内，复数满⾜，则复数对应的点的坐标是A.B.C.D.3.对两组数据x，y和v，u分别进⾏回归分析，得到散点图如图，并求得线性回归⽅程分别是和，并对变量x，y进⾏线性相关检验，得到相关系数，对变量v，u进⾏线性相关检验，得到相关系数，则下列判断正确的是A.B.C.D.4.⾃“ChatGPT”横空出世，全球科技企业报起⼀场研发AI⼤模型的热潮，随着AI算⼒等硬件底座逐步搭建完善，AI⼤规模应⽤成为可能，尤其在图⽂创意，虚拟数字⼈以及⼯业软件领域已出现较为成熟的落地应⽤.Sigmoid函数和Tanh函数是研究⼈⼯智能被⼴泛使⽤的2种⽤作神经⽹络的激活函数，Tanh函数的解析式为，经过某次测试得知，则当把变量减半时，学科⽹（北京）股份有限公司A.B.C.D.5.若向量，则“”是“”的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知点P、Q在直线上，且P、Q到坐标原点的距离均不⼤于1，则的最⼤值为A.B.C.D.7.已知数列的前项和，⾸项，且满⾜，则的值为A.4093B.4094C.4095D.40968.在棱⻓为1的正⽅体中，E，F，G分别为棱的中点，动点在平⾯EFG内，且.则下列说法正确的是A.存在点，使得直线DH与直线FG相交B.存在点，使得直线平⾯EFGC.直线与平⾯EFG所成⻆的⼤⼩为D.平⾯EFG被正⽅体所截得的截⾯⾯积为⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列命题中，真命题的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则10.已知的部分图象如图所示，则学科⽹（北京）股份有限公司A.的最⼩正周期为B.的图象可由的图象向右平移个单位得到C.在内有3个极值点D.在区间上的最⼤值为11.如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷⼀枚均匀的硬币，若出现正⾯则时针按顺时针⽅向旋转，若出现反⾯则时针按逆时针⽅向旋转，⽤表示次后时针指向的数字，则A.B.C.D.第II卷（⾮选择题共92分）三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.12.若直线与双曲线只有⼀个公共点，则的⼀个取值为______.13.寒假期间，⼩明和爷爷、奶奶、爸爸、妈妈五⼈⾃驾⼀辆七座（含司机座位）商务⻋出去游玩，其中爸爸、妈妈会开⻋，⼩明不能坐副驾，则不同的坐法种数为______（⽤数字作答）14.已知函数的极⼩值点为，若点在直线的上⽅，则实数的取值范围是______.四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.15.（本⼩题满分13分）已知的内⻆A，B，C的对边分别为，且，（1）求的⼤⼩；学科⽹（北京）股份有限公司（2）若，求的⾯积.16.（本⼩题满分15分）如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平⾯；（2）若⼆⾯⻆的余弦值为，求点到平⾯BCD的距离.17.（本⼩题满分15分）已知函数.（I）求曲线在点处的切线⽅程；（II）求函数在区间上的最⼤值和最⼩值.18.（本⼩题满分17分）已知A，B是椭圆的左，右顶点，点与椭圆上的点的距离的最⼩值为1.（1）求点的坐标.（2）过点作直线交椭圆于C，D两点（与A，B不重合），连接AC，BD交于点.（i）证明：点在定直线上；（ii）是否存在点使得，若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.19.（本⼩题满分17分）表示正整数a，b的最⼤公约数，若，且，则将的最⼤值记为，例如：，（1）求；（2）已知时，.（i）求；学科⽹（北京）股份有限公司（ii）设，数列的前项和为，证明：.学科⽹（北京）股份有限公司2024—2025学年度⾼三第⼀次⼤练习数学—参考答案⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.题号12345678答案ACDBCDAC⼆、多选题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.题号91011答案BCABDAC三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.12.（或，答案不唯⼀）13.60014.四、解答题：本题共5⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤.15.（本⼩题满分13分）【解析】（1），可得⼜（2）由正弦定理得，，由余弦定理，，可得，，联⽴⽅程组整理得，，所以或（舍）.16.（本⼩题满分15分）【解析】（1）证明：由直三棱柱的性质可知，四边形为平⾏四边形，⼜因为，所以四边形为正⽅形，所以，因为，所以平⾯，所以，学科⽹（北京）股份有限公司因为，所以，⼜因为平⾯所以平⾯.（2）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，设，则，所以，所以平⾯ABC的⼀个法向量为，设平⾯BCD的⼀个法向量为，则，所以，取，则，所以，设⼆⾯⻆的⼤⼩为，则，解得，学科⽹（北京）股份有限公司所以，平⾯BCD的⼀个法向量，设点到平⾯BCD的距离为，则，所以点到平⾯BCD的距离为.17.（本⼩题满分15分）【解析】（I）因为，所以.⼜因为，所以曲线在点处的切线⽅程为.（II）设，则.当时，，所以在区间上单调递减.所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最⼤值为，最⼩值为.18.（本⼩题满分17分）【解析】（1）设是椭圆上⼀点，则，因为，①若，解得（舍去），②若，解得（舍去）或，学科⽹（北京）股份有限公司所以点的坐标位.（2）（i）设直线，由，得，所以，所以，①由，得或，易知直线AC的⽅程为，②直线BD的⽅程为，③联⽴②③，消去，得，④联⽴①④，消去，则，解得，即点在直线上；（ii）由图可知，，即，所以点在以AB为直径的圆上，设，则，所以，即.故直线AC的⽅程为，直线AC的⽅程与椭圆⽅程联⽴，得，因为，所以，所以，故.学科⽹（北京）股份有限公司19.（本⼩题满分13分）【解析】（1）依题可得表示所有不超过正整数m，且与m互质的正整数的个数，因为与2互质的数为1，所以；因为与3互质的数为1，2，所以；因为与6互质的数为1，5，所以．（2）（i）因为中与互质的正整数只有奇数，所以中与互质的正整数个数为，所以，⼜因为中与互质的正整数只有与两个，所以中与互质的正整数个数为，所以，所以，（ii）解法⼀：因为，所以，所以，令，因为，所以数列是以为⾸项，为公⽐的等⽐数列，所以数列的前n项和，所以，⼜因为，所以，解法⼆：因为，所以，学科⽹（北京）股份有限公司⼜因为，所以，所以，所以，所以因为，所以，学科⽹（北京）股份有限公司