河南省名校大联考2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 Word版含解析

大联考2024—2025学年高一年级阶段性测试（二）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合，根据交集定义求出.【详解】因为，，所以，故选：B.2.“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分必要条件的概念即对数函数的定义域即可判断.【详解】当时不能推出，而可以推出，所以是必要不充分条件.故选：C.3.如图，动物园要靠墙（足够长）建造两间相邻的长方形禽舍，不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为米，则当所建造的禽舍总面积最大时，的值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】根据题意，用表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于的表达式，利用配方法即可得解.【详解】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为，设所建造的禽舍总面积为，则，所以当所建造的禽舍总面积最大时，的值.故选：D.4.已知，则下列不等式不成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式性质判断AC；利用幂函数的单调性判断B；作差判断D.【详解】对于A，由，得，A正确；对于B，函数在上单调递增，由，得，B正确；对于C，由选项A知，，又，则，C错误；对于D，由，得，D正确.故选：C5.函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函数定义域，再利用复合函数的单调性求函数的单调递增区间.【详解】由对数函数的性质知，解得，因为函数的图象的对称轴为，开口向下，所以函数在上单调递增，在上单调递减，又，则函数为减函数，由复合函数单调性知，函数的单调递增区间为.故答案为：A.6.已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向学生人数多于历史方向的学生人数，则（）A.物理方向的男生多于物理方向的女生B.历史方向的女生多于历史方向的男生C.物理方向的女生多于历史方向的男生D.物理方向的男生多于历史方向的女生【答案】C【解析】【分析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，计算可得结论.【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为，根据题意可得，所以，即，故物理方向的女生多于历史方向的男生.故选：C.7.已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用分段函数的单调性以及指数函数的性质求解.【详解】因为时，单调递减，且函数在上具有单调性，所以当时，函数在单调递减，所以，解得，在考虑函数在处左右取值，所以，解得，综上，实数的取值范围是，故选:A.8.数学上用“”表示连乘运算，例如：.设函数，记，，则使成立的m的最小值为（）A8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案.【详解】，，，，即，解得或，又，所以使成立的m的最小值为9.故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中有零点的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】将函数有零点问题转换为方程有根问题求解即可.【详解】对于A，时，，所以有零点，故A正确；对于B，时，，所以有零点，故B正确；对于C，时，，所以有零点，故C正确；对于D，时，，因为，所以方程无解，所以没有零点，故D错误；故选：ABC.10.下列选项正确的是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用作差法即可判断；对于B，利用指数运算即可判断；对于C，利用指数函数单调性，并借助中间量1，即可判断；对于D，利用指数、对数的运算及对数函数的性质可判断.【详解】对于A，因为，所以，故A错误；对于B，因为，所以，即，故B正确；对于C，因为，，所以，故C正确；对于D，因为，又，所以，即，所以，即，故D正确.故选：BCD.11.已知函数的定义域为，满足，且当时，.若的图象与的图象恰好有三个交点，则的值可能是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】由题意采用赋值法可推得函数周期为2，继而推出其对称轴，当时，，根据的图像和的图像恰有三个交点，画出图像，数形结合，根据，且，求得实数的取值范围.【详解】因为函数的定义域为，满足，所以为以为周期的周期函数，当时，，函数的图像为开口向下、顶点为的抛物线的一部分，因为，所以，则，作出函数的图像，如图所示，要使函数的图像和的图像恰好有三个交点，则有，即，解得，即实数a的取值范围是，选项中BC符合.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数式则________.【答案】0【解析】【分析】根据分段函数定义进行求解即可.【详解】已知函数，所以，则.故答案为：0.13.已知为常数，若不等式的解集为，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】【分析】先根据已知不等式解集计算求参得出且，再解一元一次不等式即可.【详解】因为不等式与且不等于同解，又因为解集为，所以,所以，所以不等式，即是，解得.故答案为：.14.已知函数，，若对任意恒成立，则实数t的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】利用函数的奇偶性，单调性和对称性解函数不等式.【详解】的定义域为，且，所以函数为偶函数，设，则当时，，即，此时单调递增，则当时，，即，此时单调递减，所以当时单调递增，当时单调递减，所以函数的图象关于对称，且当时单调递增，当时单调递减，又因为二次函数的图象关于对称，且当时单调递增，当时单调递减，所以在时单调递增，在时单调递减，且的图象关于对称，因为，所以，即，所以，即且恒成立，由恒成立可得，，解得，由恒成立可得，，解得，综上所述，，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入化简集合，利用集合的交集，补集运算求出结果.（2）分析可得，根据集合的包含关系即可求出结果.【小问1详解】因为，所以或，当时，，故.【小问2详解】因为，所以，若，则，，由得，解得，与矛盾，若，则，，由得，解得，综上，实数的取值范围是.16.根据某高科技公司多年的经营数据，发现该公司每年的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）满足函数关系式，且当时，.（1）若该公司想要明年的利润为700万元，则明年的研发投入应该为多少万元？（2）若该公司想要明年的利润相比今年增加175万元，则明年的研发投入相比今年应该怎样变化？【答案】（1）明年的研发投入应该为万元；（2）明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.【解析】【分析】（1）由已知可求得，代入计算可得结论；（2）设今年的研发投入为万元，利润为万元，该公司想要明年的为万元，利润为万元，由题意可得，计算可得，可得结论.【小问1详解】当时，，所以，解得，所以，令，可得，解得，所以明年的研发投入应该为万元；【小问2详解】设今年的研发投入为万元，利润为万元，该公司想要明年的研发投入为万元，利润为万元，所以，，根据题意可得，解得，所以，所以，所以.所以明年的研发投入相比今年应该提高至今年的倍.17.已知正数，满足，.设函数.（1）求，；（2）若实数，满足，且在区间上的最大值为2，求，.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）将代入，根据指数幂的运算求出，即可求出；（2）作出的图象，即可得到，根据对数的运算性质得到，再判断，即可得到，从而求出，即可得解.【小问1详解】将代入，得，即，因为，所以，故，所以.【小问2详解】由（1）知，作出的图象，如图.观察可知在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，由可得，则，所以.若在上的最大值为，因为，即，所以，所以，所以，得，解得（负值已舍去），所以.18.已知函数的定义域为，且仅有一个零点.（1）求；（2）若为奇函数，求的值；（3）设函数，若存在实数，使得在区间上的值域为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令，可求得，令，可求得；（2），结合（1）可得，进而证明可得结论；（3）由（2）可求得，利用单调性可得，进而可得是方程的两个实根，利用根的分布可求得实数的取值范围.【小问1详解】，令，得，即，因为，所以，令，得，所以，因为，所以；【小问2详解】若函数为奇函数，则可得，因为仅有一个零点，由（1）可知，所以，当时，，所以，即为奇函数.故为奇函数，的值为；【小问3详解】由（2）知，所以，所以，则在和上均单调递增，若存在实数，使得在区间上的值域为，则，所以是方程的两个实根，所以方程在上有两个不相等的实根，设，则，解得，故实数的取值范围为.19.Sigmoid函数是一个特殊的函数，在人工智能领域和生物学中发挥着重要的作用，其数学表达式是.（1）判断的单调性，并用定义证明；（2）设函数，求的值；（3）若函数在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递增.，证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根据三角函数的单调性定义证明即可；（2）根据结构特征，，采用首位相加求解即可；（3）依题意得，，换元令，转换为关于的方程在上有解，进而得到答案.【小问1详解】在上单调递增.，证明：任取，，且，，因为，所以，所以，所以在上单调递增.【小问2详解】由题意得，所以，故.所以.【小问3详解】由题意得，令，当时，.在上有零点关于的方程在上有解.方程可化为.令，则，且，因为函数在上单调递增，所以当时，，故实数的取值范围是.【点睛】关键点点睛：本题第二问，重点考查倒序相加法求解，关键在于.