辽宁省五校（东北育才中学、辽宁省实验中学、大连24中学、大连八中、鞍山一中）2025届高三上学期期末

2024—2025学年度上学期期末考试高三年级数学科答案一、单项选择题：1.A2.C3.D4.C5.B6.A7.B8.C二、多项选择题9.AD10.BC11.BCD三、填空题12.；13.答案不唯一，4，5，6任写一个即可.14.四、解答题15.解：（I）……5分所以…………………………………………………………6分（II）由=，所以………………………7分设，由点在边上，且为锐角三角形，所以，所以.……………………………………………………………9分在中，由，所以，所以，所以…………11分由是定义域上的减函数，所以，所以的范围为.…………13分（其它方法酌情给分）16．解：（I）由椭圆离心率，所以.………………………1分所以椭圆方程化为.由直线的斜率，所以直线的方程为，……………2分由椭圆对称性，不妨设点联立，解得.…………………………………………4分所以，解得，……6分所以椭圆的方程为……………………7分（II）如图，延长交于点，由（1）可知，设，设的方程为，由，得，故………9分设与的距离为，四边形的面积为，由及椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称.所以…11分又因为…13分当且仅当，即时，等号成立，…………………14分故四边形面积的最大值为2.……………………………15分17.解：（I）甲同学所有可能的选择答案有种，其中正确选项只有一个，设M=“猜对本题得6分”，故.……………3分（II）乙同学所有可能的选择答案有种，即共有10个样本点，设乙同学本题可能得分为，则的可能取值为0，4，6.，，…………………………7分所以乙同学可能得分的分布列为046所以期望…………………………………9分（III）由题意得丙得0分的概率为，丁得0分的概率为，…10分丙丁总分刚好得18分的情况包含：事件A：丙得12分有6+6一种情况，丁得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，则；事件B：丙得9分有6+3，3+6两种情况，丁得9分有6+3，3+6两种情况，则；事件C：丙得6分有6+0，0+6，3+3三种情况，丁得12分有6+6一种情况，则；…………………………………14分所以丙丁总分刚好得18分的概率.…………15分18.解：（I）由，，所以.由平面，所以.由，，，所以平面平面.…4分（II）取中点，连接，在梯形中，因为，，所以，，则在中，，由，则，………………6分易知两两垂直，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：在四棱柱中，，则，因为平面，平面，所以，在中，，则，，，，取，，，设平面的法向量为，可得，则，取，则，所以平面的一个法向量，……………8分设点到平面的距离，设直线与平面所成角为，则，即，在四棱柱中，因为，且平面，所以当直线与所成角为时，其余弦值取得最大值，即为.……10分（III）由题意作图如下：由题可知，，，因为，所以，则，，，设平面的法向量，可得，则，令，则，所以平面的一个法向量，设平面的法向量，可得，则，令，则，所以平面的一个法向量，…………………………14分设二面角的大小为，则，由二面角的正弦值为，则，可得，化简可得，解得或，…………16分由，则，故存在，.………………17分19.解：（I）因为单调递增，不存在正数，使得恒成立，所以数列不具有性质.………………………………………………………2分因为，又数列为单调递减数列，所以数列具有性质.……4分（II）因为，若为奇数的概率为为偶数的概率为，①………………………………6分②，……………………………………7分，即.………………………………………8分所以当时，，故随着的增大而增大，且.故数列具有性质.……………………………10分（III）令，则，，，所以当时，在上递减，而，故在有唯一的零点，即，即………………12分且当时，，即，当时，，即由，可知，在上单调递增；……………………………………………………………13分由，所以，所以，……………………14分假设时，成立，则，即成立，结合可得：对于任意恒成立，故为递增数列，为递减数列.…………………………………………16分对数列，存在，使，所以数列具有性质对数列，存在，使，所以数列也具有性质……17分