2025届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试数学试题

2025年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案CABCBCBD命题说明：1．说明：本题改编自人教A版必修第一册10页例1．2．说明：本题改编自人教A版必修第二册71页例2．3．说明：本题改编自人教A版必修第二册60页第8题．4．说明：本题改编自人教A版必须第一册229页第9题．5．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第6题．6．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册129页第13题．7．说明：本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第13题．8．说明：本题改编自人教A版必修第二册119页例4．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ABDACAD命题说明：9．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册112页思考．10．说明：本题改编自人教A版必修第一册250页阅读与思考．11．说明：本题改编自人教A版选择性必修第一册116页第11题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．24013．614．14命题说明：12．说明：本题改编自人教A版选择性必修第三册35页第6题．13．说明：本题改编自人教A版选择性必修第二册31页第3题．14．说明：本题改编自《趣味数学100题》．数学试题参考答案及评分标准第1页共12页四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在△ABC中，角ABC,,所对的边分别为a,,bc，c2a2b2ab，cos2BCsin．（1）求B；（2）若b1，求△ABC的面积．【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅰ卷第15题.【参考答案】a2b2c2（1）由余弦定理推论cosC及c2a2b2ab得……………………………1分2ab1cosC，…………………………………………………………………………………………2分2由于C(0,π)，……………………………………………………………………………………3分π则C，…………………………………………………………………………………………4分332π又因为cos2BCsin，且B(0,)，……………………………………………………5分23ππ所以2B，则B．…………………………………………………………………………6分6127π（2）解法1由（1）可知A，………………………………………………………………7分12πππ62且sinBsinsin()，………………………………………………………8分124647πππ62sinAsinsin()，…………………………………………………………9分12434abc由正弦定理：，……………………………………………………………10分sinABCsinsinbsinAsinA得a23，…………………………………………………………………11分sinBBsin113323所以SabsinC(23)．……………………………………………13分2224π解法2由（1）AB，………………………………………………………………………7分2所以sinBAcos，………………………………………………………………………………8分abc由正弦定理：，………………………………………………………………9分sinABCsinsinbsinAsinAππ得atanAtan()23，………………………………………11分sinBBsin43113323SabsinC(23)．…………………………………………………13分2224解法3如图，过点A作ADAC交BC于D，…………………………………………………7分7ππ由于A，则DABB，……………………………………………………………8分1212数学试题参考答案及评分标准第2页共12页所以ADDB3，CD2，…………………………………………………………………10分a23，………………………………………………………………………………………11分113323所以SabsinC(23)．……………………………………………13分2224ACDB16．（15分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC23，BAC120，D为AA1的中点，E为BC1的中点．（1）证明：DE平面B1BCC1；（2）若BB16，求直线AB1与平面DBC1所成角的正弦值．A1C1B1DEACB【命题说明】本题改编自2023年新高考全国Ⅰ卷第18题.【参考答案】（1）取BC中点M，连接AM，ME，…………………………………………………………1分因为ABAC，所以AMBC，…………………………………………………………………2分由于点E为正方形B1BCC1对角线的交点，E为BC1的中点，所以EM为VBCC1的中位线，所以EM//CC1//AD，……………………………………………………………………………………3分11又EM=CC=AAAD，所以四边形AMED为平行四边形，………………………………4分2121又因为AA1平面ABC，AM平面ABC，则AA1AM，EMAM，…………………5分由于EM,BC平面B1BCC1，EMBCMI，所以AM平面B1BCC1，…………………6分又因为DE//AM，所以DE平面B1BCC1．……………………………………………………7分数学试题参考答案及评分标准第3页共12页（2）解法1由（1）可知：MA，MC，ME两两垂直，如图，以M为坐标原点，以MC所在直线为x轴，MA所在直线为y轴，ME所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，……………8分222在VABC111中，由余弦定理可得：BCABACABACBAC11111121111cos111，则BC116，……………………………………………………………………………………………9分于是，，，，，D(0,3,3)B(3,0,0)B1(3,0,6)C1(3,0,6)A1(0,3,6)uuur则，……………………………………………………………………………………分BA1(3,3,6)11ruuuruuur设平面，，，………………………………分n(,,)xyzDBC1BD(3,3,3)BC1(6,0,6)12ruuurnBD03x3y3z0于是ruuur，即，………………………………………………………13分6x6z0nBC10r令z1，则n(1,0,1)，…………………………………………………………………………14分设直线与平面所成角为，AB1DBC1uuurruuurrBA1n36那么sincosBA,nuuurr，18BA1n4326即直线AB与平面DBC所成角的正弦值为.……………………………………………………15分118数学试题参考答案及评分标准第4页共12页222解法2在VABC111中，由余弦定理可得：BCABACABACBAC11111121111cos111，则BC116，……………………………………………………………………………………………8分如图，连接BE1，由（1），DE平面B1BCC1，BC1平面B1BCC1，则DEBC1，………9分又因为BB1B1C1，四边形B1BCC1为正方形，E为BC1的中点，B1EBC1，……………10分由于B1EIDEE，BE1，DE平面B1DE，则BC1平面B1DE，………………………11分如图，记ABBDN1I1，过点N作NHDE，连接BH，由于BC1平面B1DE，NH平面B1DE，则NHBC1，又因为DEIBC1E，DE,BC1平面DBC1，则NH平面DBC1，…………12分所以NBH即为直线AB1与平面DBC1所成角，由于V:A1DNBB1N，BNBN则12，………………………………………………………………………………13分NDA1N1883由于DEB1E，则H为DE的三等分点，则NHB1E2，NB，333NH6于是sinNAH，……………………………………………………………………14分NB86即直线AB与平面DBC所成角的正弦值为.……………………………………………15分118解法3设直线AB1与平面DBC1所成角为，点A1到平面DBC1的距离为h，h则sin，…………………………………………………………………………………………8分|AB1|数学试题参考答案及评分标准第5页共12页在Rt△ABB11中，AB1123，BB16，则AB143，………………………………………9分过B作BQCA交CA的延长线于Q，易得BQ3，…………………………………………10分且易证BQ平面A1ACC1，………………………………………………………………………11分11由于S△32333，则V33333，……………………………13分A1DC12BA1DC131在△DBC中，DBDC21，且BC62，S△62336，…………14分111DBC12333316又VVABDCBADC33，则h，sin.…………………………15分11116643817．（15分）甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为p(0p1)，输的概率为1p，每局比赛的结果是独立的．（）当p2时，求甲最终获胜的概率；13（2）为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案.方案一：最终获胜者得3分，失败者得2分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．【命题说明】本题改编自2024年新高考全国Ⅱ卷第18题.【参考答案】（1）记“甲最终以2:1获胜”为事件A，记“甲最终以2:0获胜”为事件B，“甲最终获胜”为事件C，……………………………………………………………………………1分于是CABU，A与B为互斥事件，……………………………………………………………2分8由于P()AC1pp1p，………………………………………………………………3分2274P()Bp2，……………………………………………………………………………………4分920则P(C)P(A)P(B)3p22p3，……………………………………………………5分27数学试题参考答案及评分标准第6页共12页20即甲最终获胜的概率为.………………………………………………………………………6分27（2）由（1）可知，P(C)P(A)P(B)3p22p3，………………………………………7分若选用方案一，记甲最终获得积分为X分，则X可取3，2，………………………………8分P(X3)P(C)3p22p3，P(X2)13p22p3，…………………………………9分则X的分布列为：X32p3p22p313p22p3则E()9Xp26p326p24p310p315p22，……………………………………10分若选用方案二，记甲最终获得积分为Y分，则Y可取1，0，…………………………………11分P(Y1)P(C)3p22p3P(Y0)13p22p3，………………………………………12分则Y的分布列为：Y10p3p22p313p22p3则E(Y)3p22p3，……………………………………………………………………………13分1所以E()()8XE