安徽省安庆市怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省安庆市怀宁县高河中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知−2，푥，푦，푧，−4成等比数列，则푥푦푧=()A.±16√2B.−16√2C.±16D.−16푥2푦212.已知双曲线−=1(푎>0,푏>0)的左焦点퐹(−푐,0)到其渐近线的距离为푐，则该双曲线的离心率为푎2푏22()2√3A.2B.22C.D.23√3√3.“푎=−5”是“直线푙：푥+√3푦+푎=0被圆(푥−1)2+(푦−2√3)2=5截得的弦长为4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知{푎푛}是公差为2的等差数列，且푎1，푎2，푎5成等比数列，则푆8等于()A.44B.48C.64D.1085.如图的平行六面体퐴퐵퐶퐷−퐴1퐵1퐶1퐷1中，点푀在퐵퐵푙上，点푁在퐷퐷1上，且퐵푀=11퐵퐵,퐷푁=퐷퐷，若⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，则푥+푦+푧=()21131푀푁=푥퐴퐵+푦퐴퐷+푧퐴퐴11A.71B.62C.33D.2푎푛+2=푎푛−2(푛为奇数)6.已知数列{푎푛}，푎1=2，푎2=0，且{，则数列{푎푛}的前2023项之和为()푎푛+2=푎푛+2(푛为偶数)A.0B.2C.2024D.4048푥2푦27.已知双曲线퐶：−2=1(푎>0,푏>0)的左，右焦点分别为퐹1，퐹2，푂为坐标原点，点푃是双曲线퐶上的푎2푏一点，|푂푃|=|푂퐹2|，且△푃푂퐹1的面积为4，则实数푏=()A.√2B.2C.2√2D.4第1页，共7页푥2푦2푐푏28.已知퐹是椭圆퐶：+=1(푎>푏>0)的右焦点，点푃在椭圆퐶上，线段푃퐹与圆(푥−)2+푦2=相切于푎2푏2216点푄，且푃푄⃗⃗⃗⃗⃗=3푄퐹⃗⃗⃗⃗⃗，则椭圆퐶的离心率等于()21√2√5A.B.C.D.3223二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.等差数列{푎푛}的前푛项和为푆푛，若푎1>0，公差푑≠0，则()A.若푆4>푆8，则푆12<0B.若푆4=푆8，则푆6是푆푛中最大的项C.若푆5>푆6，则푆4>푆5D.若푆3>푆4，则푆4>푆510.下列结论正确的是()A.直线(3+푚)푥+4푦−3+3푚=0(푚∈푅)恒过定点(−3,−3)B.直线√3푥+푦+1=0的倾斜角为120°C.圆푥2+푦2=4上有且仅有3个点到直线푙：푥−푦+√2=0的距离都等于1D.与圆(푥−2)2+푦2=2相切，且在푥轴、푦轴上的截距相等的直线有两条푥2푦211.已知椭圆퐶：+=1的左、右焦点分别为퐹，퐹，直线푙与椭圆퐶交于푀，푁两点，且点푃(1,1)为线段푀푁6212的中点，则下列说法正确的是()√6A.椭圆퐶的离心率为B.△푃퐹퐹的面积为13122√10C.直线푙的方程为푥+3푦−4=0D.|푀푁|=3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。2푛12.等差数列{푎푛}的前푛项和푆푛=푛+2푛+푎，等比数列{푏푛}的前푛项和푇푛=3+푏(其中푎，푏为实数)则푎+푏的值为______．√213.已知抛物线퐶：푦=푥2的焦点为퐹，푂为坐标原点，푃为抛物线퐶上一点，且满足|푃퐹|=32，则△푃푂퐹8√的面积为______．푎14.已知数列{푎}满足푎=12，푎−푎=2푛，则푛的最小值为______．푛1푛+1푛푛四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知直线푙1：4푥−3푦+10=0与푙2垂直，且푙2经过点(1,1)．(1)求푙2的方程；11(2)若푙与圆퐶：푥2+(푦−)2=25相交于퐴，퐵两点，求|퐴퐵|．22第2页，共7页16.(本小题12分)已知{푎푛}为等差数列，{푏푛}是公比为正数的等比数列，푎1=푏1=2，푎2=2푏1−1，푏3=2푎2+2．(1)求{푎푛}和{푏푛}的通项公式；(2)求数列{푎푛⋅푏푛}的前푛项和．17.(本小题12分)如图，在三棱锥푃−퐴퐵퐶中，平面푃퐴퐵⊥平面퐴퐵퐶，푃퐴=푃퐵，퐵퐶⊥푃퐴．(1)求证：퐴퐵⊥퐵퐶；√10(2)若퐴퐵=퐵퐶=푃퐴=2，퐷是线段푃퐵上的一点，若直线푃퐶与平面퐴퐶퐷所成角的正弦值为，求푃퐷的长．1018.(本小题12分)푥2푦2已知椭圆퐶：+=1的长轴长为4，短轴长与焦距相等．푎2푏2(1)求椭圆퐶的标准方程和离心率；2(2)已知直线푦=푘푥+2与椭圆퐶有两个不同的交点퐴，퐵，푃(−,0)，是否存在实数푘，使得△푃퐴퐵是以퐴퐵为3底边的等腰三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．19.(本小题12分)1∗已知数列{푎}的前푛项和푆=(1−푎)(푛∈푁).若2+푏=3푙표푔1푎，且数列{푐}满足푐=푎⋅푏．푛푛3푛푛푛푛푛푛푛4(1)求证：数列{푏푛}是等差数列；2(2)求证：数列{푐}的前푛项和푇<．푛푛31(3)若푐≤(푡2+푡−1)对一切푛∈푁∗恒成立，求实数푡的取值范围．푛4第3页，共7页1.【答案】퐵2.【答案】퐶3.【答案】퐴4.【答案】퐶5.【答案】퐵6.【答案】퐵7.【答案】퐶8.【答案】퐷9.【答案】퐴퐵퐷10.【答案】퐵퐶11.【答案】퐴퐶12.【答案】−113.【答案】2√214.【答案】615.【答案】解：(1)由直线푙1：4푥−3푦+10=0，因为푙1⊥푙2，设直线푙2的方程为3푥+4푦+푎=0，又因为直线푙2过点(1,1)，则3+4+푎=0，解得푎=−7，所以直线푙2的方程为3푥+4푦−7=0；1111(2)由圆퐶：푥2+(푦−)2=25，可得圆心퐶(0,)，半径푟=5，22|4×11−7|2则圆心퐶到直线푙2：3푥+4푦−7=0的距离为푑==3，√32+42又由圆的弦长公式，可得弦长|퐴퐵|=2√푟2−푑2=2√25−9=8．16.【答案】解：(1)由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为푑，푞>0，则由题意有2+푑=3，2푞2=2(2+푑)+2，解得푑=1，푞=2，푛−1푛∗所以{푎푛}和{푏푛}的通项公式分别为푎푛=2+(푛−1)=푛+1,푏푛=2⋅2=2,(푛∈푁)；(2)设数列{푎푛⋅푏푛}的前푛项和为푆푛，푛∗由(1)可得푎푛⋅푏푛=(푛+1)⋅2,(푛∈푁)，12푛所以푆푛=2⋅2+3⋅2+⋯+(푛+1)⋅2，第4页，共7页23푛+12푆푛=2⋅2+3⋅2+⋯+(푛+1)⋅2，4×(1−2푛−1)两式相减得−푆=2⋅21+22+⋯+2푛−(푛+1)2푛+1=4+−(푛+1)2푛+1=−푛⋅2푛+1，푛1−2푛+1∗所以数列{푎푛⋅푏푛}的前푛项和为푆푛=푛⋅2,(푛∈푁)．17.【答案】(1)证明：取퐴퐵的中点푂，连接푃푂，如图所示，因为푃퐴=푃퐵，푂是퐴퐵的中点，所以푃푂⊥퐴퐵，又平面푃퐴퐵⊥平面퐴퐵퐶，平面푃퐴퐵∩平面퐴퐵퐶=퐴퐵，푃푂⊂平面푃퐴퐵，所以푃푂⊥平面퐴퐵퐶，又퐵퐶⊂平面퐴퐵퐶，所以푃푂⊥퐵퐶，又퐵퐶⊥푃퐴，푃퐴∩푃푂=푃，푃퐴，푃푂⊂平面푃퐴퐵，所以퐵퐶⊥平面푃퐴퐵，又퐴퐵⊂平面푃퐴퐵，所以퐴퐵⊥퐵퐶；(2)解：设퐴퐶的中点为퐸，则푂퐸//퐵퐶，又퐴퐵⊥퐵퐶，所以푂퐸⊥퐴퐵，以푂为坐标原点，以푂퐸，푂퐵，푂푃所在直线分别为푥轴、푦轴、푧轴，建立如图所示空间直角坐标系，则푃(0,0,√3)，퐴(0,−1,0)，퐶(2,1,0)，퐵(0,1,0)，设퐵퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=휆퐵푃⃗⃗⃗⃗⃗(0≤휆≤1)，则퐴퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=퐴퐵⃗⃗⃗⃗⃗+퐵퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,2,0)+휆(0,−1,√3)=(0,2−휆,√3휆)，퐶퐷⃗⃗⃗⃗⃗=퐶퐵⃗⃗⃗⃗⃗+퐵퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,0)+휆(0,−1,√3)=(−2,−휆,√3휆)，设平面퐴퐶퐷的一个法向量为푛⃗=(푥,푦,푧)，푛⃗⃗⋅퐴퐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2−휆)푦+√3휆푧=0则{，令푧=2−휆，解得푦=−√3휆，푥=√3휆，푛⃗⃗⋅퐶퐷⃗⃗⃗⃗⃗=−2푥−휆푦+√3휆푧=0所以平面퐴퐶퐷的一个法向量为푛⃗⃗=(√3휆,−√3휆,2−휆)，又퐶푃⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,−1,√3)，|푛⃗⃗⋅퐶푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2√3|1−휆|√10|cos<푛⃗⃗,퐶푃⃗⃗⃗⃗⃗>|===所以|푛⃗⃗|⋅|퐶푃⃗⃗⃗⃗⃗⃗|22210，√8⋅√3휆+3휆+(2−휆)111解得휆=或휆=(舍去)，所以푃퐷=1．2418.【答案】解：(1)由题意可得：2푎=4，2푏=2푐，푎2=푏2+푐2，联立解得푎=2，푏=푐=√2，第5页，共7页푥2푦2푐√2∴椭圆퐶的标准方程为：+=1，离心率푒==．42푎2(2)设퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2)，线段퐴퐵的中点푀(푥0,푦0)，푦=푘푥+222联立{푥2푦2，化为：(1+2푘)푥+8푘푥+4=0，(푘≠0)，+=1421훥=64푘2−16(1+2푘2)>0，化为푘2>．28푘4푥1+푥2=−2，푥1푥2=2，1+2푘1+2푘14푘2∴푥0=(푥1+푥2)=−2，푦0=푘푥0+2=2，21+2푘1+2푘214푘∴线段퐴퐵的垂直平分线方程为：푦−=−(푥+)，1+2푘2푘1+2푘222124푘把푃(−,0)代入可得：−=−(−+)，化为：2푘2−3푘+1=0，31+2푘2푘31+2푘21解得푘=1或푘=，211∵푘2>，∴푘=不符合题意，舍去．22∴푘=1．∴存在实数푘=1，使得△푃퐴퐵是以퐴퐵为底边的等腰三角形，24直线的方程为푦−=−(푥+)，化为：3푥+3푦+2=0．331119.【答案】解：(1)证明：由题意知푆=−푎，푛33푛111当푛≥2时，푎=푆−푆=푎−푎，所以푎=푎．푛푛푛−13푛−13푛푛4푛−1111当푛=1时，푆=−푎=푎，所以푎=，133111411所以数列{푎}是以为首项，为公比的等比数列，푛441则푎=，푛4푛1푛因为2+푏=3푙표푔1푎，所以푏=3푙표푔1푎−2=3푙표푔1()−2=3푛−2，푛푛푛푛4444所以푏1=1，令푏푛=푏1+(푛−1)푑，可得푑=3，所以数列{푏푛}是以1为首项，3为公差的等差数列．1(2)证明：由(1)知푐=푎⋅푏=()푛×(3푛−2)，푛푛푛41111所以푇=푐+푐+⋯+푐=×1+()2×4+⋯+()푛−1×(3푛−5)+()푛×(3푛−2)，푛12푛4444第6页，共7页11111所以푇=()2×1+()3×4+⋯+()푛×(3푛−5)+()푛+1×(3푛−2)，4푛4444311111两式相减，可得푇=×1+()2×3+()3×3+⋯+()푛×3−()푛+1×(3푛−2)4푛44444(1)2[1−(1)푛−1]1441푛+1113푛−2=+3×−()×(3푛−2)=−푛−，41−14244푛+1423푛+212所以푇=−×()푛，所以푇<．푛334푛311(3)若푐≤(푡2+푡−1)对一切푛∈푁∗恒成立，只需要푐的最大值小于或等于(푡2+푡−1)．푛4푛41푛+11푛9−9푛因为푐푛+1−푐푛=(3푛+1)×()−(3푛−2)×()=≤0，444푛+11所以푐=푐>푐>푐>⋯푐，所以数列{푐}的最大项为푐和푐，且푐=푐=．1234푛푛1212411所以≤(푡2+푡−1)，即푡2+푡−2≥0，44解得푡≥1或푡≤−2，即实数푡的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．第7页，共7页