湖南省怀化市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

怀化市2024年下期期末考试试题高一数学考试时长：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.已知，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据并集的定义计算可得.【详解】因为，，所以.故选：D2.如图，角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义计算可得.【详解】因为角的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，第1页/共16页学科网（北京）股份有限公司所以.故选：B3.已知，则“”是“”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由推不出，故充分性不成立；由推得出，故必要性成立；所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B4.已知函数，则（）A.1B.0C.D.【答案】A【解析】【分析】根据分段函数解析式计算可得.【详解】因为，所以.故选：A5.函数在区间上是单调递减的，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函数的性质求解参数范围即可.第2页/共16页学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意,的图象开口向上，对称轴为直线，因为在区间上单调递减，所以，解得.故选：C.6.下列比较大小中正确的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据换底公式及对数函数的性质判断A，根据幂函数的性质判断B、D，根据中间量判断C.【详解】对于A：因为，，又，所以，所以，故A错误；对于B：因为在上单调递减，，所以，故B错误；对于C：因为，，所以，故C错误；对于D：因为，又在上单调递增，所以，即，故D正确；故选：D7.已知，，，，则下列一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】C第3页/共16页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据指数与对数的关系及指数幂的运算性质计算可得.【详解】因，，所以，，又，所以，又，所以，所以.故选：C8.已知，，则的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解.【详解】因为，，所以，所以，又，所以，所以.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是由所给条件推导出、的值.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．第4页/共16页学科网（北京）股份有限公司9.下列命题是真命题的有（）A.若，，则B.若且，则C.若，，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值判断A、D，利用不等式性质判断B、C.【详解】对于A：如，，，，满足，，但是，故A错误；对于B：因为，所以，又，所以，所以，故B正确；对于C：因为，所以，则，又，所以，故C正确；对于D：若，则，故D错误.故选：BC.10.下列关于函数的说法正确的是（）A.要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位B.函数的图象关于点中心对称C.若，则D.函数在区间内单调递增【答案】BCD【解析】【分析】根据三角函数的平移变换判断A，根据正弦函数的性质判断B、D，利用诱导公式判断C.【详解】对于A：将函数的图象向左平移个单位得到，故A错误；第5页/共16页学科网（北京）股份有限公司对于B：因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确；对于C：因为，所以，所以，故C正确；对于D：由，所以，因为在上单调递增，所以函数在区间内单调递增，故D正确；故选：BCD11.若是定义在R上的函数，当时，，且对任意x，，恒成立，则下列说法正确的是（）A.B.是偶函数C.的图象关于对称D.若，则恒成立【答案】ACD【解析】【分析】令可求出判断A，可得函数的奇偶性判断B，函数的奇偶性，得到函数的对称性，即可判断C，利用单调性的定义判断D.【详解】已知，令，可得，解得，故A正确；再令，得，第6页/共16页学科网（北京）股份有限公司即，因为不恒成立，所以，所以为奇函数，故B错误；因为为奇函数，所以关于原点对称，则的图象关于对称，故C正确；因为当时，，所以当时，，则；设任意的，，且，则，所以，因为，，且，所以，，，，，所以，即，所以上单调递增，则在上单调递增，又，且当时，，当时，，所以是R上的增函数，则当时，恒成立，故D正确．故选：ACD【点睛】关键点点睛：对于抽象函数求函数值一般采用赋值法，抽象函数的单调性的证明通常是利用定义法.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.函数的定义域是______．【答案】【解析】【详解】，即定义域为点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求第7页/共16页学科网（北京）股份有限公司(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R.(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．13.当时，的最小值是___________.【答案】4【解析】【分析】利用换元法，令将所给的代数式进行变形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【详解】由，可得.可令，即，则，当且仅当，时，等号成立.故答案为：．14.对于函数，若在其定义域内存在，使得成立，则称函数具有性质．下列四个函数中具有性质的有______．（填序号）①②③④．【答案】②③④【解析】【分析】假设函数具有性质，即判断是否有解，构造函数，结合零点存在性定理判断即可.【详解】对于①：假设具有性质，则在上存在，使得，即，因为，所以，故方程无解，即不具有性质，故①错误；对于②：假设具有性质，则在上存在，使得，即在时有解，第8页/共16页学科网（北京）股份有限公司设，，显然为定义域上的连续函数，又，，即在上有零点，所以具有性质，故②正确；对于③：假设具有性质，则存在，使得，即有解，令，显然为连续函数，又，，所以在上存在零点，所以具有性质，故③正确；对于④：假设具有性质，则存在，使得，即有解，令，显然为连续函数，又，，所以上存在零点，所以具有性质，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是将问题转化为方程是否有解，结合零点存在性定理判断即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）（2）第9页/共16页学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】（1）首先解一元二次不等式，即可求出集合，再根据并集的定义计算可得；（2）首先求出，再根据，即可求出的取值范围.【小问1详解】由，即，解得，所以，当时，所以；【小问2详解】因为，所以，又，，所以，所以实数m的取值范围为.16.已知函数．（1）求的最大值；（2）若，且直线与的图象在上有交点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先利用二倍角公式化简得到，再求出函数在上的值域，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】第10页/共16页学科网（北京）股份有限公司因为，因为，所以，当，即时取得最大值且；【小问2详解】因为，当，则，所以，则，又直线与的图象在上有交点，所以；17.为了美化城市，某部门计划在一处绿化带做一个“福地怀化”字样的园圃，如图所示，该园圃的形状是扇形挖去半径为其一半的扇形后得到的扇环，园圃的外围周长为50m，其中圆心角小于，的长不超过10m．设（单位：m），园圃的面积为（单位：）．（1）写出关于x的函数表达式，并求出该函数的定义域；（2）当x为多少时，园圃的面积最大，求出y的最大值及此时与的长．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用扇形的弧长公式和面积公式求解解析式即可.（2）利用二次函数性质求解最值即可.【小问1详解】在扇形中，由题意得，，第11页/共16页学科网（北京）股份有限公司由扇形面积公式得扇形的面积为，扇形的面积为，故，由弧长公式得的长度为，的长度为，而园圃的外围周长为50m，故，解得，因为圆心角小于，所以，解得，而，故，故，该函数的定义域为.【小问2详解】由二次函数性质得在内单调递增，当时，的最大值为，的长度为，的长度为.18.已知函数是偶函数．（1）求实数k的值；（2）求的最小值；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质求出参数的值，再代入检验即可；第12页/共16页学科网（北京）股份有限公司（2）利用基本不等式求出的最小值，即可求出的最小值；（3）依题意可得不等式对任意恒成立，令，即可得到不等式对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，结合对勾函数的性质求出，即可得解.【小问1详解】函数的定义域为，因为为偶函数，所以，即，解得，此时函数的定义域为，且，所以为偶函数，符合题意，所以；【小问2详解】由（1）可得，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立；所以，即的最小值为，当时取得最小值；【小问3详解】由（1）可得，则，由不等式对任意恒成立，即不等式对任意恒成立，令，则，第13页/共16页学科网（北京）股份有限公司所以不等式对任意恒成立，所以对任意恒成立，因为函数在上单调递增，所以当时取得最小值，所以，即实数的取值范围为.19.若定义域为在R上的函数满足：存在非零实数，对，都有，则称函数是可分解函数．（1）判断函数是否为可分解函数，如果是，求出一个的值；如果不是，请说明理由；（2）若是可分解函数，且存在，使得对，都有，求，；（3）对于函数，是否存在，，使得是可分解函数？若存在，求出，；若不存在，请说明理由．【答案】（1）存在，使函数是可分解函数（答案不唯一）（2），（3）存在，，【解析】【分析】（1）根据即可得解；（2）依题意可得，令求出，再推导出且，即可求出；（3）依题意可得，由求出，再由求出，再代入检验即可.【小问1详解】函数是可分解函数，第14页/共16页学科网（北京）股份有限公司因为，，且所以，即对，都有，所以存在，使函数是可分解函数（答案不唯一）；【小问2详解】因为是可分解函数，所以，令，可得，所以；又，所以且，所以，若，则当时，，不符合题意；所以；【小问3详解】因为是可分解函数，所以且，即，即，又，所以，所以；又，否则且，则，则当时，，与矛盾；所以，又，所以，所以或；当，即时，，此时，而，第15页/共16页学科网（北京）股份有限公司则，不符合题意，故舍去；当，即时，，此时，而，则，符合题意；综上可得，存在，，使得函数是可分解函数.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解可分解函数的定义，再结合三角函数的性质计算即可.第16页/共16页学科网（北京）股份有限公司