广东省2025届高三下学期3月综合能力测试（燕博园联考CAT）数学答案

高三年级综合能力测试——数学参考答案（含解析）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。题号12345678答案DDCCBDAB1．命题立意：试题主要考函数的定义域，集合的表示方法以及全集、子集、交集、补集的概念和运算，考查基本的运算求解能力．由于集合，或，则ð，ð．A{0,1,2,3,4,}B{x|x0x4}RB{x|0x4}A(RB){1,2,3}故选D．2．命题立意：试题主要考查等差数列的概念、通项公式、基本性质等内容，考查基本的逻辑思维与推理能力，以及运算求解能力．在等差数列中，，，则．故选．{an}a5a7a93a727a792a8a9a79D3．命题立意：试题主要考查一元线性回归模型的含义、参数的统计意义，利用一元线性回归模型研究变量之间的随机关系并进行预测，考查知识获取能力和逻辑推理能力．123455(7m)8(9m)11由于x3，y8，则线性回归方程必过定点(3,8)．55故选C．4．命题立意：试题主要考查单位向量概念，直线的斜率，两条直线的位置关系等基本知识，考査运算求解能力和化归与转化的思想．b13344b14由于k，x，则e(,)，k，因为ABl，则()1，解得ABb0555l3b34b或b4．故选C．75．命题立意：试题主要考查古典概率模型，条件概率的概念和计算，考査考生的计数能力以及运算求解能力，逻辑推理能力，也考査考生分析问题和解决问题的能力．11111P(AB)1由已知得P(A)，P(AB)，故P(B|A)25．故选B．55525P(A)1556．命题立意：试题主要考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的基本性质等基础知识，同时也考查数形结合思想，逻辑推理能力与运算求解的综合能力，体现解析几何的基本思想和基本方法．y3(x1),由于，直线方程为y3(x1)，联立方程消去，得2，F(1,0)AB2y3x10x30y4x,14AF显然xx，得x3，x，AFx14，BFx1，3，AF3FB，ABAB3AB3BF3．故选D．7．命题立意：试题主要考查考生熟悉的正方体、球等基础知识，考查考生的空间想象，逻辑推理，运算求解等关键能力，考查考生理性思维，数学探索等数学学科素养，符合基础性，综合性，创新性的考查要求．设T是线段MN的中点，则OTMN，由勾股定理MNMB2BN26，OM2，球心62O到MN距离为OT(2)2()2，当OT垂直于过MN的平面时，截得该正方体的222内切球所得截面圆的面积最小，MN被球截得的弦长为l2R2OT221()22，2l221此时圆的半径就是r，面积为Sπrπ．故选A．2228．命题立意：试题主要考查三个数值的大小比较，通过分析数值的共性与特点，作差、变形．试题重点考查考生分析问题的能力以及对数运算解决问题的能力．试题紧扣课程标准，题目经典，力图引导教学，符合基础性，综合性，应用性，创新性的考查要求，具有较好的选拔功能.数学答案第1页（共9页）{#{QQABYYol4go4wBbACY5KUQGUCgsQsIMhLUoEQRCUqAwKABFABKA=}#}222232332由于alog4log32，又23，则23，clog2log3a，即ca．8233333lg223lg2lg3lg5lg2lg3lg3lg5lg2lg2lg5由于bcloglog252532lg3lg2lg5lg3(lg2lg5)lg35lg5(lg3lg2)lg3lg2lg50，bc，则bca．故选B．(lg2lg5)lg3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ACDBCDAC9．命题立意：试题主要考查复数的概念，复数的基本运算．试题强调基础，注重对基本概念，基本思想方法的考查．本题能够稳定考生的紧张情绪，增强考生考试的信心，有利于考生在考试中正常发挥．15i(15i)(1i)15ii5i2由于z32i，则z的实部为3，z的虚部为2，不是2i，1i(1i)(1i)222|15i|152由于|z|13，zz|z|13，z32i在复平面内对应的点(3,2)在第四|1i|1212象限．故选ACD．10．命题立意：试题主要考查三角函数图像的识别与基本性质，三角恒等变换等知识，考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力，考查考生理性思维等数学学科索养．3T52π3π2π5ππ由于A1，π()，T2π，则1，f(x)sin(x)，令，463262ππ又，得，f(x)sin(x)，选项A错误；函数f(x)sin(x)图像上所有点23331的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到ysin(2x)，再将所得图像向左平移个236ππk单位长度，得到函数g(x)sin2x，令2xkπ，则函数g(x)图像关于直线x对242称，kZ，选项B正确；要使函数yf(2x)sin(2x)在区间[0,m]上恰有4个不同零点，35π13π由于0xm，2x2m，则32m4，m的取值范围为[,)，333336π131cos4x3选项C正确；yf(2x)g(x)sin(2x)sin2xsin22xsin2xcos2xsin4x3224411πππksin(4x)，令4xk，kZ，得x，kZ，函数yf(2x)g(x)的4266244π1图像关于点(,)对称，选项D正确．故选BCD．24411．命题立意：试题主要考查数列的基本概念、基本思想方法等知识，考查了考生的逻辑思维能力，运算求解能力和创新能力，考查考生的推理预判，数学应用、探索等数学学科素养．bn2bn1bn2bn1bnbn1b2an由于bne，则bn0，得，故．bn1bnbn1bnbn1bn2b1对于选项A：bbbbbbbbbb方法1：85，74，63，52，将上述不等式累乘得：85．b7b4b6b3b5b2b4b1b4b1bbbbbbbbb方法：由8765432得，即85成立．2b8b1b2b7b3b6b4b5b7b6b5b4b3b2b1b4b1故选项A正确．数学答案第2页（共9页）{#{QQABYYol4go4wBbACY5KUQGUCgsQsIMhLUoEQRCUqAwKABFABKA=}#}bbbbbbb对于选项B：由于n1n2，则nknk1n1n2nk1，整理得bnbn1bnk1bnkbnbn1bnk，，故选项错误．bnk1bnk1bnkbnk1knB对于选项：由于，，则Cbnk1bnk1bnkbnk1knb50b51b49b52b48b53b1b100,则50，得，故选项C正确．(b50b51)b1b2b3b4b99b100T1001b50b511对于选项：由，则，D2an1anan2an2an1an1an，，，，a2025a2024a9a8a2024a2023a9a8a2023a2022a9a8…，将以上式子累加得：，a9a8a9a8a2025a82017a9a8)(另外，，，…，，a9a8a8a7a9a8a7a6a9a8a2a1①将以上式子累加得：，7(a9a8)a8a1aaaa2025aa1结合式得：20258aa81，②88，得：a8，2017987201778显然符合题意，此时，综上所述，的最大值为．故选项错误．故选．①an②na88∴a88DAC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。题号121314答案2403[2,1]12．命题立意：试题主要考查二项式定理以及应用二项展开式解决与展开式系数有关问题的能力，考查运算求解能力．3226r由于n，则，二项式6的通项为：r6rrrr2，264n6(x)Tr1C6x()(2)C6xxx3r0,1,2,,6，令6r0，得r4，故常数项是(2)4C41615240．2613．命题立意：试题主要考查学生直线与双曲线的位置关系，双曲线的基本概念等知识，考查学生直观想象能力和运算求解能力．考查学生数形结合思想方法的掌握．b2b2b2c2a2设双曲线焦距为2c，则F(c,0)，B(c,)，A(a,0)，e2，则kaaABcaa(ca)a(ca)cae13．a14．命题立意：试题主要考查基本初等函数的求导公式及求导法则，考查对函数单调性的理解与掌握，函数的基本性质，以及综合运用所学知识分析问题，解决问题的能力，同时也考查数学思维的严谨性．ex1由于g(x)f(x)exexexex，g(x)g(x)，则g(x)为偶函(ex1)2exex2数，函数g(x)在区间(,0)上单调递减，在区间(0,)上单调递增，又g(xa)g(2x)，则问题转化为不等式|xa||2x|对任意x(,2)(1,)恒成立，故不等式3x22axa20h(2)0,2a6,对任意x(,2)(1,)恒成立，构造函数h(x)3x22axa2，只要得h(1)0,3a1,故实数a的取值范围是2a1．四、解答题：本题共5小题，共77分。15．（13分）命题立意：试题主要考查函数的导数及其应用等基础知识．考查基本求导公式及求导法则，曲线的切线方程，函数的极值，考査利用导数判断函数单调性的方法；考查灵活运用导数工具去分析，解决问题的能力；综合考查考生的逻辑推理能力，运算求解能力，推理论证能力．1（1）由于f(x)xlnx定义域为(0,)，f(x)lnxx1lnx,f(e)e，f(e)2，x数学答案第3页（共9页）{#{QQABYYol4go4wBbACY5KUQGUCgsQsIMhLUoEQRCUqAwKABFABKA=}#}故曲线yf(x)在点(e,e)处的切线方程为：ye2(xe)，即2xye0．4分111（2）令f(x)0，则0x，令f(x)0，则x，则函数f(x)在区间(0,)上单调eee111递减，在区间(,)上单调递增．故函数f(x)的极小值为f()，无极大值．7分eee1（3）由于函数h(x)xlnxex1，令g(x)h(x)lnx1ex(x0)，则g(x)ex在x11区间(0,)上单调递减，且g()2e0，g(1)1e0，故x(,1)，使2021x0g(x0)e0，即lnx0x0，9分x0当x(0,x0)时，g(x0)0，当x(x0,)时，g(x0)0，故h(x)在(0,x0)上递增，在(x0,)上递减.11分111x0故h(x)h(x0)lnx01e(x0)12x0110，当且仅当x0，x0x0x0即x01时，等号成立，显然，等号不成立，故h(x)0，故h(x)在(0,)上是减函数．13分16．（15分）命题立意：试题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变形和三角形的内角和等基础知识；通过求解三角形来考查学生的逻辑推理，直观想象和运算求解等核心素养以及函数与方程，化归与转化等数学思想．（1）在△ABC中，ACπB