2024-2025学年湖南省名校联盟高一下学期开学质量检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M=x∈N∗∣−40，则a的取值范围是( )A.−∞,2 B.−3,2 C.−3,2 D.−∞,28.已知α,β均为锐角，sinα=2sinβcosα+β，则tanα的最大值为( )A.3 B.2 C.33 D.22二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=ax+b(x+c)2的图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A.a<0 B.a>0 C.b<0 D.c>010.已知幂函数fx=m2+m−1xm−5的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是( )A.m=1 B.f−3a2>0，则fa>fb D.函数gx=fx+f1x的最小值为211.已知函数fx=sinωx+φω>0,φ<π2的图象经过点0,32，则下列说法正确的是( )A.若fx的最小正周期为π2，则ω=4 B.若fx的图象关于点π3,0中心对称，则ω=1+3kk∈N C.若fx在0,2π3上单调递增，则ω的取值范围是0,14 D.若方程fx=12在0,π上恰有两个不同的实数解，则ω的取值范围是116,52三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数y=ax−4+7(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在幂函数y=fx的图象上，则fx= ．13.已知函数g(x)=5x5+2x3−29x−10，g(a)=−16，则g(−a)= ．14.已知a>−b,b>0，且aa+2b−2=1+b3−b，则ba2+16的最大值为 ．四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)(1)计算51160.5+21027−13−3×(4+π)0+(2−2)2；(2)计算7log72−4log43⋅log278+13log68+2log63．16.(本小题12分)已知函数y=fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=3x−3．(1)求函数fx的解析式；(2)若关于x的方程fx=2a+3恰有两个实数根，求a的取值范围．17.(本小题12分)(1)已知x>0,y>0，且1+xx+4−yy=2，求x+y的最小值；(2)解关于x的不等式ax2−2a+3x+6<0a∈R．18.(本小题12分)已知函数fx=ln1+x2−ax是奇函数，且f1>0．(1)求a的值；(2)判断fx的单调性，并证明；(3)若对任意实数x，不等式f4sin2x+cosx−3+fm<0恒成立，求m的取值范围．19.(本小题12分)已知函数fx=3sinωx+acosωx(ω>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为π4，且f0+fπ6=3．(1)求fx的解析式；(2)将函数fx的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数gx的图象，若gx1gx2=9，且x1,x2∈−2π,2π，求2x1−x2的最大值；(3)记函数fx在区间t,t+π4上的最大值为Mt，最小值为mt，设函数Ht=Mt−mt，求函数Ht在区间π12,5π12上的值域． 参考答案1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C 8.C 9.AD 10.ACD 11.AC 12.x32 13.−4 14.14/0.25 15.解：(1)51160.5+21027−13−3×(4+π)0+(2−2)2=94212+433−13−3+2−2=94+34−3+2−2=2−2；(2)7log72−4log43⋅log278+13log68+2log63=2−4×lg3lg4×lg8lg27+log62+log63=2−4×lg32lg2×3lg23lg3+log62×3=2−2+1=1． 16.解：(1)因为函数y=fx是定义在R上的奇函数，当x>0时，fx=3x−3，当x=0时，f0=0；当x<0时，−x>0，所以fx=−f−x=−3−x+3，综上，fx=3x−3,x>00,x=0−3−x+3,x<0；(2)函数fx的图象如图所示：所以−2<2a+3<2且2a+3≠0，解得−520,y>0，所以yx+4xy≥2yx⋅4xy=4．当且仅当yx=4xy，即y=2x时，即x=32,y=3时，等号成立；此时(x+y)min=92；(2)当a=0时，−3x+6<0，解集为2,+∞，当a≠0时，ax2−2a+3x+6=x−2ax−3<0，①当a<0时，3a<2，解集为−∞,3a∪2,+∞；②当02，解集为2,3a；③当a=32时，解集为⌀；④当a>32时，3a<2，解集为3a,2．综上所述：a<0时，解集为−∞,3a∪2,+∞；a=0时，解集为2,+∞；032时，解集为3a,2． 18.解：(1)因为函数fx=ln1+x2−ax是一个奇函数，所以fx+f−x=0，即ln1+x2−ax+ln1+x2+ax=0，可得1+x2−ax1+x2+ax=1，即1+x2−a2x2=1，所以1−a2x2=0，解得a=1或a=−1．当a=1时，fx=ln1+x2−x，此时f1=ln1+12−1<0，不符合题意；当a=−1时，fx=ln1+x2+x，此时f1=ln1+12+1>0，满足题意，综上，a=−1；(2)fx在R上单调递增，不妨设0≤x1