湖南师范大学附属中学2025届高三下学期4月模拟（一）数学试卷（原卷版）

湖南师大附中2025届模拟试卷（一）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.02.若复数，则（）A.B.C.D.3.函数的最小正周期是（）A.B.C.D.4.若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（）A.B.C.D.5.已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.6.一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（）A.B.C.D.第1页/共5页7.已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（）A.B.C.36D.278.已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（）A.7B.C.9D.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（）A.圆的半径B.直线与圆相交C.直线不可能将圆的周长平分D.直线被圆截得的最短弦长为10.双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（）A.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数B.C.函数值域为D.11.古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以．则（）第2页/共5页A.crdB.若，则C.D.crd三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若指数函数满足，则_____．13.从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则_____．14.已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____．四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．评价性合喜不喜别计欢欢男15性女性合50100计（1）根据所给数据，完成上面的列联表；（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评第3页/共5页价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望．附：．0.0100.0050.00166357.87910.82816.已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．（1）用表示；（2）若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．17.如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内动点且．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成角余弦值的取值范围．18.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.（1）设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；第4页/共5页（2）若，证明：直线与直线的交点在定直线上.19.已知函数．（1）若在处的切线为，求的值；（2）当时，求在上的零点个数；（3）当时，设，是否存在，使得曲线在点处切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．第5页/共5页