黄金卷06-【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）（解析版）

【赢在高考·黄金8卷】备战2023年高考数学模拟卷（新高考专用）黄金卷06考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题1．设全集，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，，所以,所以.故选：D.2．函数定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用根号下的数大于等于0，对数真数大于0，解得函数的定义域.【详解】由题意可得：，解得，故选：B.3．设命题，，则命题p的否定为（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据存在命题的否定为全称命题可得结果.【详解】∵存在命题的否定为全称命题，∴命题p的否定为“，”，故选：B4．某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】由题意可得党员人数和大学生人数之和减去志愿者小组总人数，即可得结果【详解】因为志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，所以由Venn可得既是党员又是大学生的志愿者人数为．故选：C5．已知等差数列，是数列的前n项和，对任意的，均有成立，则不可能的值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】由已知分析可得，公差，讨论当时，当，时，与的关系，计算即求得的取值范围,得出结果.【详解】等差数列，对任意的，均有成立，即是等差数列的前项和中的最小值，必有，公差，当，此时，、是等差数列的前项和中的最小值，此时，即，则当，此时是等差数列的前项和中的最小值，此时，，即，则,则有，综合可得：分析选项可得：BCD符合题意；故选：A6．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据同角三角函数的基本关系及正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；【详解】解：由题意得，由正弦定理可得．所以，又，所以．故选：C7．第24届冬季奥林匹克运动会，将在2022年2月4日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京成为奥运史上第一个举办夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．同时中国也成为第一个实现奥运“全满贯”（先后举办奥运会、残奥会、青奥会、冬奥会、冬残奥会）国家．根据规划，国家体育场（鸟巢）成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，（如图），且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别设内外层椭圆方程为、，进而设切线、分别为、，联立方程组整理并结合求、关于a、b、m的关系式，再结合已知得到a、b的齐次方程求离心率即可.【详解】若内层椭圆方程为，由离心率相同，可设外层椭圆方程为，∴，设切线为，切线为，∴，整理得，由知：，整理得，同理，，可得，∴，即，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：根据内外椭圆的离心率相同设椭圆方程，并写出切线方程，联立方程结合及已知条件，得到椭圆参数的齐次方程求离心率.8．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】依题意可得，进而可得在上恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性以及最值，即可求出参数的取值范围.【详解】等价于．令函数，则，故是增函数．等价于，即．令函数，则．当时，，单调递增：当时，，单调递减．.故实数a的取值范围为．故选：C.二、多选题9．设，是虚数单位，复数.则下列说法正确的是（    ）A．若为实数，则B．若为纯虚数，则C．当时，在复平面内对应的点为D．的最小值为【答案】ABD【分析】利用复数为实数的充要条件、复数为纯虚数的充要条件、复数的几何意义、模的定义分别判断即可.【详解】若为实数，则虚部为0，即，故正确；若为纯虚数，则实部为0，即，故正确；当时，，则在复平面内对应的点为，故错误；（当且仅当时取等号），故正确，故选:.10．若甲组样本数据，，…，（数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据，，…，的平均数为4，则下列说法正确的是（    ）A．a的值为-2 B．乙组样本数据的方差为36C．两组样本数据的样本中位数一定相同 D．两组样本数据的样本极差不同【答案】ABD【分析】结合平均数、方差、中位数、极差的概念以及平均数的和差倍分性质，及一组数据同时乘一个数，同时加一个数对方差的影响，逐项分析即可求出结果.【详解】由题意可知：，故，故A正确；乙组样本数据方差为，故B正确；设甲组样本数据的中位数为，则乙组样本数据的中位数为，所以两组样本数据的样本中位数不一定相同，故C错误；甲组数据的极差为，则甲组数据的极差为，所以两组样本数据的样本极差不同，故D正确；故选：ABD.11．下列说法正确的有（     ）A．若，则的最大值是B．若x，y，z都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数x，y满足，则的最小值是【答案】ABD【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所的最大值为，故A正确；对于B，因为x，y，z都是正数，且，所以，，，所以，所以，，当且仅当，即，即时等号成立，所以的最小值为3，故B正确；对于C，因为，，所，即（当且仅当时等号成立），因为，所以，所以，所以，解得（舍去）或，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，故C错误；对于D，令，，则，，因为，所以x，y同号，则s，t同号，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值是，当且仅当时，等号成立，故D正确．故选：ABD.12．已知F为椭圆的左焦点，直线与椭圆C交于A、B两点，，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（     ）A．的最小值为2 B．的面积的最大值为C．直线BE的斜率为 D．为直角【答案】BCD【分析】根据给定条件设出点A、P坐标，结合椭圆定义、均值不等式、斜率坐标公式逐项分析计算作答.【详解】设椭圆C的右焦点，由椭圆对称性知线段AB，互相平分于点O，则四边形为平行四边形，如图，则，有，当且仅当，即时取“=”，A不正确；设，，则，当且仅当，即时取“=”，即，因，垂足为E，则，B正确；因，有，由椭圆对称性可得，而，则直线BE的斜率，C正确；设，由及得，，即，直线PA，PB的斜率有，而，于是得，有，所以为直角，D正确.故选：BCD【点睛】结论点睛：过椭圆中心的弦(除椭圆长轴外)与椭圆二焦点围成平行四边形.第II卷（非选择题）三、填空题13．长方体中，，，则点B到平面的距离为________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，，，，，，设平面的法向量为：，，令得：又点B到平面的距离为：.故答案为：.14．已知单位向量的夹角为，与垂直，则______【答案】##0.5【分析】由与的数量积为0可得值．【详解】，与垂直，则，．故答案为：．15．若函数的值域为，则实数的取值范围是______.【答案】【分析】分，和三种情况讨论，结合一次函数与二次函数的性质求出函数在对应区间的值域，再根据题意列出不等式，从而可得出答案.【详解】解：当时，，当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，则此时函数的值域不是，故不符合题意；当时，，，，，因为函数的值域为，所以，解得，综上所述实数的取值范围是.故答案为：.16．已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则___________.【答案】【分析】根据双曲线的定义，设，结合利用余弦定理可得，再根据等面积法求得内切圆半径的表达式，结合正弦定理可得外接圆半径的表达式，进而列式求解离心率即可【详解】由题意，设，因为，故，即，根据双曲线的定义有，故.所以的面积为.又，故.故内切圆半径满足，解得.又的外接圆半径满足，故，由题意，即，所以，故，故，解得故答案为：四、解答题17．已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求n.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由、的关系求，可得，根据等比数列的定义，即可写出的通项公式；（2）由等比数列前n项和公式有，结合已知条件求n即可.【详解】（1）当时，；当，，即，∴是首项为，公比为2的等比数列，所以.（2），由，得，解得.18．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是4长为的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为PA的中点，PA＝PD＝．(1)求证：PC∥平面BMD；(2)求二面角M－BD－P的大小．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】连接AC交BD于N，连接由三角形中位线知MN∥PC即得证；取AD的中点O，连接OP，说明OP、OD、ON两两相互垂直，则分别以OD、ON、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系利用向量法即可求出二面角的大小.【详解】（1）连接AC交BD于N，连接在正方形ABCD中，，∴N是AC的中点.又M是AP的中点，∴MN是的中位线，，∵面BMD，面BMD，∴∥平面BMD，（2）取AD的中点O，连接OP，在中，，O是AD的中点，∴，又平面平面ABCD，平面PAD，平面平面，∴平面在正方形ABCD中，O，N分别是AD、BD的中点，∴，∴OP，OD，ON两两相互垂直，分别以OD，ON，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，∴，，设平面MBD的一个法向量，则，即取，得，∴是平面MBD的一个法向量：同理，是平面PBD的一个法向量，∴，设二面角的大小为，由图可知，，，且为锐角，∴，故二面角的大小是19．某校在2021年的综合素质冬令营初试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，并将成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．且同时规定成绩小于分的学生为“良好”，成绩在分及以上的学生为“优秀”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格，面试通过者将进入复试．(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数；(2)如果用分层抽样的方法从“良好”和“优秀”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人发言，那么这两人中至少有一人是“优秀”的概率是多少？(3)如果第三、四、五组的人数成等差数列，规定初试时笔试成绩得分从高到低排名在前18%的学生可直接进入复试，根据频率分布直方图估计初试时笔试成绩至少得到多少分才能直接进入复试？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据最高小长方形底边中点对应的横坐标为众数，即可得到答案；（2）先计算出人中“良好”的学生和“优秀”的学生的人数，再计算出事件“5人中选2人”有种可能，其中事件“至少有一人是“优秀””有种可能，最后根据古典概型的公式即可求解；（3）由第三、四、五组的人数成等差数列和“优秀”学生的频率为，列方程组求出，，接着判断出初试时笔试成绩得分从高到低排名在18%的学生分数在第四组，设为至少x分能进入面试，由此可得，即可求解.(1)根据样本频率分布直方图估计样本的众数为；(2)“良好”的学生频率为，“优秀”学生频率为；由分层抽样可得“良好”的学生有人，“优秀”的学生有3人，将三名优秀学生分别记为A，B，C，两名良好的学生分别记为a，b，则这5人中选2人的基本事件有：共10种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：共9种，所以至少有一人是