专题10 与等比数列相关的结论（解析版）

专题11与等比数列相关的结论一、结论q已知等比数列{an},公比为,前n项和为Sn.nm(1)anamq(m,nN).(2)若mnpq,则amanapaq(m,n,p,qN);反之,不一定成立.(3)a1a2a3am,am1am2a2m,a2m1a2m2a3m,成等比数列(mN).(4)公比q1时,Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n成等比数列(nN).S偶(5)若等比数列的项数为2n(nN),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则q.S奇1an(6){an},{bn}是等比数列,则{an},{},{anbn},{}也是等比数列(0,nN).anbna(7)通项公式aaqn11qn.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于n的指数函数的n1q积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.xxx(9)三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个数成等比数列,通常设为,,xq,xq3.qq3q二、典型例题例题1．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）在正项等比数列an中，若a3,a7是关于x的方程2xmx40的两实根，则log2a1log2a2log2a3log2a9（）A．8B．9C．16D．18【答案】Baa49【详解】由题意及韦达定理可得37，由等比数列性质可得a1a2a3a92，故log2a1log2a2log2a3log2a9log2a1a2a3a99.故选：B【反思】若mnpq,则amanapaq(m,n,p,qN)，等比数列中，注意利用角标和性质.例题2．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考开学考试）已知等比数列an的前n项和Sn满足S510，S1040，则S20（）A．130B．160C．390D．400【答案】D【详解】因为等比数列an的前n项和Sn满足S510，S1040，所以S5,S10S5,S15S10,S20S15依然成等比数列，22则S5(S15S10)(S10S5)，即10(S1540)(4010)，解得：S15130，则S5(S20S15)(S10S5)(S15S10)，即10(S20130)3090，解得：S20400，故选：D.【反思】公比q1时,Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n成等比数列(nN)，本例中，S5,S10S5,S15S10,S20S15依然成等比数列此结论可快速解题.例题3．（2023·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【详解】设这个等比数列an共有2kkN项，公比为q，则奇数项之和为S奇a1a3a2k185，偶数项之和为S偶a2a4a2nqa1a3a2n1qS奇170，S170q偶2，S奇85a122k12k2k等比数列an的所有项之和为S2117085255，则2256，2k12解得k4，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.【反思】利用结论若等比数列的项数为2n(nN),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶,则S偶q，可直接根据结论求出q，进而求出其它量.S奇三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列an是递增的等比数列，qa1a2a314，a1a2a364，则公比（）1A．B．1C．2D．24【答案】C3【详解】已知a1a2a364，所以a264，解得a24，即a1q4①；2又a1a2a314，则a1a310，即a1(1q)10②；又q0，1q251由①②得，所以2q25q20，解得q=2或q.q22因为数列an是递增的等比数列，所以q=2.故选：C.2．（2023秋·广东汕头·高二统考期末）已知正项等比数列an满足log2a1log2a2log2a20222022，则log2a1a2022的最小值为（）A．1B．2C．1011D．2022【答案】B【详解】log2a1log2a2log2a2022log2a1a2a202220222022所以a1a2a20222，又数列{an}是正项等比数列，2所以a1a2022a2a2021a3a2020a1011a101224所以log2a1a2022log22a1a2022log242,当且仅当数列为常数列时，等号成立.故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中，已知a1a2a3a420,a5a6a7a810，则数列的前16项和为7512575A．20B．C．D．222【答案】BS8S41【详解】试题分析：由题意得，S420,S8S410，则，根据等比数列的性质可知S425S,SS,SS,SS构成公比为1等比数列，S20,SS10,SS5,SS，且484128161224841281612275S30,S35,S，故选B．812162n14．（2023·全国·高三专题练习）已知数列an的前n项和Sn21，则数列an的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（）1172341A．B．2C．D．2341172【答案】Cn2【详解】当n2时，anSnSn12，又a1S12，即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256，54S141023214510奇172所以数列an的前10项中S341，，所以，偶S奇22172S341143143偶故选：C．5．（2023·全国·高二专题练习）已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【答案】An1n1【详解】根据题意，数列{an}为等比数列，设ana1·qq，211又由数列{a}的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则q2，n10a(1qn)故S211012n131n5；n1q故选：A6．（2023·全国·高二专题练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a61a11，a6a71，0，则下列结论错误的是（）a71A．0q1B．0a6a81C．Sn的最大值为S7D．Tn的最大值为T6【答案】C【详解】若q0，则a60，a70，所以a6a70，与a6a71矛盾；a61a61若q1，则因为a11，所以a61，a71，则0，与0矛盾，a71a71因此0q1，所以A正确．a612因为0，所以a61a70，因此a6a8a70,1，即B正确．a71因为an0，所以Sn单调递增，即Sn的最大值不为S7，C错误．因为当n7时，an0,1，当1n6时，an1,，所以Tn的最大值为T6，即D正确．故选：C7．（2023·高三课时练习）设等比数列an的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件0a71a6，则下列结论正确的是（）A．q1B．0a11C．Sn的最大值为S7D．Tn的最大值为T6【答案】Da7【详解】解：由于0a71a6，得0q1，同时a11；由于a11，0q1，则Sn无最大值；由a6于a61，0a71，则Tn的最大值为T6．故选：D．二、多选题8．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）记等比数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，且满足a11，a20221，a20231，则（）A．a2022a202410B．S20221S2023C．T2022是数列Tn中的最大项D．T40451【答案】AC【详解】数列an的公比为q．对于A，∵a11，a20231，∴0a20231，又a20221，∴0q1．2∵a2022a2024a20231，∴a2022a202410，故A正确；对于B，∵a20231，∴a2023S2023S20221，即S20221S2023，故B错误；对于C，∵0q1，a11，∴数列an是递减数列，∵a20221，a20231，∴T2022是数列Tn中的最大项，故C正确；24044对于D，T4045a1a2a3a4045a1a1qa1qa1q40454045123404440452022404520224045，a1qa1qa1qa20234045∵0a20231，∴a20231，即T40451．故D错误．故选AC．9．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列an满足a10，公比q1，且a1a2a20211，a1a2a20221，则（）A．a20211B．当n2021时，a1a2an最小C．当n1011时，a1a2an最小D．存在n1011，使得anan1an2【答案】AC【详解】对A，∵a10，q1，∴an0，又a1a2a20211，a1a2a20221，1∴a20221，a1a2a2021故A正确.2对B，C，由等比数列的性质，a1a2021a2a2020a1010a1012a1011，20212故a1a2a2021a10111，a10111，∵a2a2022a3a2021a1011a1013a1012，202111∴a2a3a4a2022a1012，∵a1a2a20211，a10，q1，∴a11，1，a1a1∴a10121，故当n1011时，a1a2an最小，B错误，C正确；对D，当n1011时，ana10111，故anan1an1an2，故D错误.故选：AC三、填空题10．（2023秋·广东广州·高二统考期末）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2a42a3a5a4a64，则a3a5_________．【答案】2【详解】等比数列{an}各项均为正数，222∴a2a42a3a5a4a6a32a3a5a5(a3a5)4，a3a52（负值舍去）故答案为：2.2611．（2023秋·广东·高二校联考期末）若等比数列an的各项均为正数，且a4a2a62e，则lna1lna2lna7__________.【答案】21226【详解】由等比数列的下标和性质有a4a2a6，所以a4e.3因为数列an的各项均为正数，所以a4e，27因为a1a7a2a6a3a5a4，所以lna1lna2lna7lna1a2a7lna47lna47321.故答案为：21.12．（2023·高三课时练习）已知Sn是正项等比数列an的前n项和，S1020，则S302S20S10的最小值为______．【答案】5【详解】解：设an公比为q.当q1时，S1010a120，则a12，此时有S302S20S1030a1220a110a10；当q1时，SSaaa因为S30S20a21a22La30，20101112