专题01 导数的运算(原卷版)

专题01 导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)2．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′＝eq\f(f′(x)g(x)－f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)y＝xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))；(4)y＝ln(2x－5)．[例2] (1)(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝eq\f(ex,x＋a)．若f′(1)＝eq\f(e,4)，则a＝________．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋lnx，则f(1)＝．(3)已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2022(x)等于( )A．－sinx－cosx B．sinx－cosx C．－sinx＋cosx D．sinx＋cosx(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是凸函数的是( )A．f(x)＝sinx＋cosx B．f(x)＝lnx－2x C．f(x)＝x3＋2x－1 D．f(x)＝xex(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是( )A．x2－xlnx＋x B．x2－xlnx－x C．x2＋xlnx＋x D．x2＋2xlnx＋x【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))′＝1＋eq\f(1,x2) B．(log2x)′＝eq\f(1,xln2) C．(5x)′＝5xlog5x D．(x2cosx)′＝－2xsinx2．函数y＝xcosx－sinx的导数为( )A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx3．(多选)下列求导运算正确的是( )A．(sina)′＝cosa(a为常数) B．(sin2x)′＝2cos2xC．(eq\r(x))′＝eq\f(1,2\r(x)) D．(ex－lnx＋2x2)′＝ex－eq\f(1,x)＋4x4．已知函数f(x)＝eq\f(sinx,cosx)＋eq\f(1,x2)，则f′(x)＝．5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsinx，则f2019(x)＋f2021(x)＝( )A．－2cosx B．－2sinx C．2cosx D．2sinx6．f(x)＝x(2021＋lnx)，若f′(x0)＝2022，则x0等于( )A．e2 B．1 C．ln2 D．e7．已知函数f(x)＝eq\f(1,ax－1)＋excosx，若f′(0)＝－1，则a＝．8．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝．9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)的值等于( )A．－2 B．2 C．－eq\f(9,4) D．eq\f(9,4)10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝x＋lnx，则f′(1)＝．12．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝( )A．eq\f(12－8ln2,1－2ln2) B．eq\f(2,1－2ln2) C．eq\f(4,1－2ln2) D．－213．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为( )A．f(x)＝3cosx B．f(x)＝x3＋x C．f(x)＝x＋eq\f(1,x) D．f(x)＝ex＋x14．f(x)＝eq\f(3,ex＋1)＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为( )A．1 B．2 C．3 D．415．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2．若f′(2020)＝6，则f′(－2020)＝______．16．分别求下列函数的导数：(1)y＝exlnx；(2)y＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x)＋\f(1,x3)))；(3)y＝x－sineq\f(x,2)coseq\f(x,2)；(4)y＝lneq\r(1＋2x)．(5)f(x)＝eq\f(x3＋2x－x2lnx－1,x2)．