2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷10（解析版）

2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷10一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，故选B。2．若复数，则（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】，∴，故选A。3．已知平面，直线、满足、，则“”是“”的（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵、，∴当时，成立，即充分性成立，当时，不一定成立，、也可能是异面直线，即必要性不成立，∴“”是“”的充分不必要条件，故选A。4．如图所示，用种不同的颜色涂入图中的矩形、、、中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法一共有（）。A、种B、种C、种D、种【答案】D【解析】先涂的话，有种选择，若选择了一种，则有种，而为了让与、都不一样，则有种，再涂的话，只要与涂不一样的就可以，也就是有种，∴一共有种，故选D。5．“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污。某乡村一条污染河道的蓄水量为立方米，每天的进出水量为立方米。已知污染源以每天个单位污染河水，某一时段（单位：天）水污染质量指数为（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的倍，若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（）。参考数据：。A、个月B、个月C、半年D、年【答案】C【解析】令，则，有，且，∴，，，约为半年，故选C。6．已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、。若为直角三角形，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】双曲线：的渐近线方程为，渐近线夹角为，若为直角三角形，则只能是过的直线与其中一条渐近线垂直，设过的直线为：，，解得，，解得，∴，故选B。7．在中，，，，若，（），，则的值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】以为原点如图建系，则、、，设，，∵，∴，解得、，∴，∵，∴，解得、，∴，又，∴，∴，解得，故选A。另解：由题意可知：，则，而其中，，，∴，解得，故选A。8．已知函数的一条切线方程为，则的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】的定义域为，，设切点为，则，∵为切点，∴，，∴，其中，记，定义域为，，当时，在内单调递减，当时，在内单调递增，∴在时取得极小值也是最小值，，即的最小值为，故选B。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．下列说法正确的是（）。A、甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是和，则题被解出的概率是B、若、是互斥事件，则，C、某校名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取名教师做样本，若采用分层抽样方法，则高级教师应抽取人D、一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是【答案】BCD【解析】∵他们各自解出的概率分别是和，∴此题不能解出的概率为，∴此题解出的概率为，A选项错，若、是互斥事件，则，，B选项对，高级教师应抽取时人，C选项对，由列举法知，两位女生相邻的概率是，D选项对，故选BCD。10．已知函数、、的零点分别为、、，下列各式错误的是（）。A、B、C、D、【答案】BC【解析】分别作函数、、、的图像如图所示，则为与的图像交点的横坐标，为与的图像交点的横坐标，为与的图像交点的横坐标，由图像可知，A选项对，又与互为反函数，其图像关于对称，的图像也关于对称，∴，，∴B选项错，C选项错，∵、、，∴、，∴，D选项对，故选BC。11．函数（，，）的部分图像如图所示，下列命题中的真命题是（）。A、将函数的图像向左平移个单位，则所得函数的图像关于原点对称B、将函数的图像向左平移个单位，则所得函数的图像关于轴对称C、当时，函数的最小值为D、当时，函数的最大值为【答案】CD【解析】由函数图像可得：，周期，可得，可得，由点在函数的图像上，可得，解得，，∵，∴当时可得，从而得解答式可为，A选项，将函数的图像向左平移个单位，可得，将代入不成立，A错，B选项，将函数的图像向左平移个单位，可得，不关于轴对称 ，错，C、D选项，当时，可得：，故函数的最大值为，最小值为，对，故选CD。12．已知数列和，设，，，则下列命题正确的是（）。A、当时，B、当时，C、当且时，D、当且时，【答案】ABD【解析】当时，∵，∴，设时，，即，∴，则，则当时，，∴对于，都有，A选项对，当时，∵，∴，设时，，即，∴，则，则当时，，∴对于，都有，B选项对，对于，都有，即，∴，且，则，C选项错，D选项对，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，若，、，则边上的高是。【答案】或【解析】由，得，∴或，当时，，边上的高为，当时，，边上的高为。14．在的展开式中，记项的系数为，则。【答案】【解析】，∴。15．球面距离指球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度。设地球半径为，在北纬圈上有、两地，它们在纬度圈上的弧长是，则这两地的球面距离是。【答案】【解析】北纬圈所在圆的半径为，它们在纬度圈上的弧长（是、两地在北纬圈上对应的圆心角），∴，∴线段，设地球的中心为，则中，由余弦定理得，∴，，∴、这两地的球面距离是。16．已知直三棱柱中，，，且，若点为中点，点为中点，且，平面交底面棱于点，且满足，则多面体的体积为。【答案】【解析】延长、，设其交于点，∵平面交底面棱于点，∴、、、四点共面，连接，则与棱相交于点，在中，∵，，∴，∴，∵为中点，∴，则在中，，又，故，又，设到的距离为，则由得，∴，。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知为等差数列的前项和，已知，。（1）求数列的通项公式；（2）求，并求的最小值。【解析】（1）等差数列中，设公差为，∵，，∴，解得，3分故；4分（2）由（1）得，，8分∴当时，的最小值。10分18．（本小题满分12分）某人在一山坡处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），图中所示的山坡可视为直线且点在直线上，与水平地面的夹角为，，试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角最大（不计此人的身高）。【解析】如图所示，建立平面直角坐标系，则、、，1分直线的方程为，即，2分设，则（），由经过两点的直线的斜率公式，，5分由直线到直线的角的公式得，，8分要使达到最大，只须达到最小，由均值不等式，当且仅当时上式取等号，∴当时最大，这时点的纵坐标为，10分由此实际问题知，，∴最大时，最大，∴当此人距水平地面米高时，观看铁塔的视角最大。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，是边长为的正三角形，，，点在底面上的投影为点，点在棱上。（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值。【解析】（1）证明：∵点在底面上的投影为点，∴平面，∵平面，∴，1分在中，，，，由正弦定理得：，又∵，∴，∴，3分∵，、平面，∴平面，4分∵平面，∴平面平面；5分（2）由（1）可知平面，∵平面，∴，又，，∴，在中，，，∴，∴，∴为等腰三角形，7分取中点为，连接、，则、，∴为二面角的平面角，8分在中，由、得，9分在中，由得，10分在中，由余弦定理得：，∴二面角的余弦值为。12分又解：（1）同上：（2）由（1）可知平面，∵平面，∴，又，，∴，在中，，，∴，∴，又，∴在中，，∴，∴，，∴，以为坐标原点如图建系，则、、、，8分设平面的法向量为，、，∴，令，则、，∴，10分又由题意可知平面的法向量为，11分设二面角的平面角为，经观察为锐角，∴。12分20．（本小题满分12分）已知椭圆：（）的离心率为，过椭圆焦点的最短弦长为。（1）求椭圆的标准方程；（2）若折线（）与相交于、两点（点在直线的右侧），设直线、（为坐标原点）的斜率分别为、，且，求的值。【解析】（1）由题意可知，又，∴、，∴椭圆的标准方程为；3分（2）由题意，折线（）与相交于、两点（点在直线的右侧），设点关于轴对称的点为，则直线（）与相交于、两点，5分设、，则，联立得：，恒成立，8分∴、，9分∴，11分整理得，解得或。12分21．（本小题满分12分）已知件不同的产品中共有件次品，现对它们进行一一测试，直到找出所有件次品为止。（1）求恰好在第次测试时件次品全部被测出的概率；（2）记恰好在第次测试时件次品全部被测出的概率为，求的最大值和最小值。【解析】（1）若恰好在第次测试时件次品全部被测出，则第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，则有种情况，从件产品中顺序取出件，有种情况，则第次测试时件次品全部被测出的概率；2分（2）根据题意，分析可得的范围是，当时，若恰好在第次测试时件次品全部被测出，则第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，而从件产品中顺序取出件，有种情况，则，则、、、，5分当时，即恰好在第次测试时件次品全部被测出，有两种情况，一是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，二是前次没有取出次品，此时也可以测出三件次品，则，7分当时，即恰好在第次测试时件次品全部被测出，有两种情况，一是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，二是前次恰有次次品，第次取出为合格品，则，9分当时，即恰好在第次测试时件次品全部被测出，有两种情况，一是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，二是第次取出第件正品，前次中有次是次品，次是正品，则，11分故，。12分22．（本小题满分12分）已知函数（）和函数。（1）求函数的单调区间；（2）已知，，且函数有三个不同的零点、、，求的取值范围。【解析】（1）当时，，又，则在单调递增，1分当时，，，令，解得、，当或时，，则在和单调递增，当时，，则在单调递减，4分又当时，∴为连续函数，∴的单调递增区间为和，单调递减区间为，5分（2）当时，，解得，6分当时，，解得，（可取），（舍去），7分∴（），令，，则原式可化为，，9分，令，解得、，∴当时，∴在单调递增，∴，即，11分即的取值范围为。12分