专题06 三角函数及解三角形（解析版）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题06三角函数及解三角形考点一同角三角函数间的基本关系1．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=（ ）A．−65 B．−25 C．25 D．65【解析】由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=sinθ(sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ)sinθ+cosθ=sinθsinθ+cosθ⋅sin2θ+cos2θ+2sinθ⋅cosθsin2θ+cos2θ=tanθtanθ+1⋅tanθ2+2tanθ+1tan2θ+1=25．故选：C．考点二正弦函数的图象2．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+π4）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若2π3＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（3π2，2）中心对称，则f（π2）＝（ ）A．1 B．32 C．52 D．3【解析】函数f（x）＝sin（ωx+π4）+b（ω＞0）的最小正周期为T，则T=2πω，由2π3＜T＜π，得2π3＜2πω＜π，∴2＜ω＜3，∵y＝f（x）的图像关于点（3π2，2）中心对称，∴b＝2，且sin（3π2ω+π4）＝0，则3π2ω+π4=kπ，k∈Z．∴ω=23(k−14)，k∈Z，取k＝4，可得ω=52．∴f（x）＝sin（52x+π4）+2，则f（π2）＝sin（52×π2+π4）+2＝﹣1+2＝1．故选：A．考点三三角函数的周期性3．（2023•新高考Ⅰ）已知函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 ．【解析】x∈[0，2π]，函数的周期为2πω（ω＞0），cosωx﹣1＝0，可得cosωx＝1，函数f（x）＝cosωx﹣1（ω＞0）在区间[0，2π]有且仅有3个零点，可得2⋅2πω≤2π＜3⋅2πω，所以2≤ω＜3．故答案为：[2，3）．4．（2022•上海）函数f（x）＝cos2x﹣sin2x+1的周期为 ．【解析】f（x）＝cos2x﹣sin2x+1＝cos2x﹣sin2x+cos2x+sin2x＝2cos2x＝cos2x+1，T=2π2=π．故答案为：π．5．（2020•上海）函数y＝tan2x的最小正周期为 ．【解析】函数y＝tan2x的最小正周期为π2，故答案为：π2．6．（2020•上海）已知函数f（x）＝sinωx，ω＞0．（1）f（x）的周期是4π，求ω，并求f（x）=12的解集；（2）已知ω＝1，g（x）＝f2（x）+3f（﹣x）f（π2−x），x∈[0，π4]，求g（x）的值域．【解析】（1）由于f（x）的周期是4π，所以ω=2π4π=12，所以f（x）＝sin12x．令sin12x=12，故12x=2kπ+π6或2kπ+5π6，整理得x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3．故解集为{x|x=4kπ+π3或x=4kπ+5π3，k∈Z}．（2）由于ω＝1，所以f（x）＝sinx．所以g（x）=sin2x+3sin(−x)sin(π2−x)=1−cos2x2−32sin2x=−32sin2x−12cos2x+12=12−sin（2x+π6）．由于x∈[0，π4]，所以π6≤2x+π6≤2π3．12≤sin(2x+π6)≤1，故−1≤−sin(2x+π6)≤−12，故−12≤g(x)≤0．所以函数g（x）的值域为[−12，0]．考点四三角函数的最值7．（2023•上海）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（ ）A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0【解析】由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a=π6，则[a，2a]＝[π6，π3]，区间[2a，3a]＝[π3，π2]，可知sa＞0，ta＞0，故A可能；取a=5π12，则[a，2a]＝[5π12，5π6]，区间[2a，3a]＝[5π6，5π4]，可知sa＞0，ta＜0，故C可能；取a=7π6，则[a，2a]＝[7π6，7π3]，区间[2a，3a]＝[7π3，7π2]，可知sa＜0，ta＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是sa＜0，ta＞0．故选：D．8．（2021•上海）已知f（x）＝3sinx+2，对任意的x1∈[0，π2]，都存在x2∈[0，π2]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，则下列选项中，θ可能的值是（ ）A．3π5 B．4π5 C．6π5 D．7π5【解析】∵x1∈[0，π2]，∴sinx1∈[0，1]，∴f（x1）∈[2，5]，∵都存在x2∈[0，π2]，使得f（x1）＝2f（x2+θ）+2成立，∴f（x2+θ）min≤0，f(x2+θ)max≥32，∵f（x）＝3sinx+2，∴sin(x2+θ)min≤−23，sin(x2+θ)max≥−16，y＝sinx在x∈[π2，3π2]上单调递减，当θ=3π5时，x2+θ∈[3π5，11π10]，∴sin(x2+θ)=sin11π10＞sin7π6=−12，故A选项错误，当θ=4π5时，x2+θ∈[4π5，13π10]，∴sin(x2+θ)min=sin13π10＜sin5π4=−22＜−23，sin(x2+θ)max=sin4π5＞0，故B选项正确，当θ=6π5时，x2+θ∈[6π5，17π10]，sin（x2+θ）max=sin6π5＜sin13π12=2−64＜−16，故C选项错误，当θ=7π5时，x2+θ∈[7π5，19π10]，sin（x2+θ）max=sin19π10＜sin23π12=2−64＜−16，故D选项错误．故选：B．9．（2021•浙江）已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】由基本不等式可得：sinαcosβ≤sin2α+cos2β2，sinβcosγ≤sin2β+cos2γ2，sinγcosα≤sin2γ+cos2α2，三式相加，可得：sinαcosβ+sinβcosγ+sinγcosα≤32，很明显sinαcosβ，sinβcosγ，sinγcosα不可能均大于12．取α＝30°，β＝60°，γ＝45°，则sinαcosβ=14＜12，sinβcosγ=64＞12，sinγcosα=64＞12，则三式中大于12的个数的最大值为2，故选：C．考点五三角函数的单调性10．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x−π6）单调递增的区间是（ ）A．（0，π2） B．（π2，π） C．（π，3π2） D．（3π2，2π）【解析】令−π2+2kπ≤x−π6≤π2+2kπ，k∈Z．则−π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z．当k＝0时，x∈[−π3，2π3]，（0，π2）⊆[−π3，2π3]，故选：A．考点六三角函数的奇偶性和对称性11．（2019•浙江）设函数f（x）＝sinx，x∈R．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域．【解析】（1）由f（x）＝sinx，得f（x+θ）＝sin（x+θ），∵f（x+θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k∈Z），∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2＝sin2（x+π12）+sin2（x+π4）=1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2＝1−12(cos2xcosπ6−sin2xsinπ6−sin2x)=34sin2x−34cos2x+1=32sin(2x−π6)+1，∵x∈R，∴sin(2x−π6)∈[−1，1]，∴y=32sin(2x−π6)+1∈[1−32，1+32]，∴函数y＝[f（x+π12）]2+[f（x+π4）]2的值域为：[1−32，1+32]．考点七函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换12．（2022•浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+π5）图象上所有的点（ ）A．向左平移π5个单位长度 B．向右平移π5个单位长度 C．向左平移π15个单位长度 D．向右平移π15个单位长度【解析】把y＝2sin（3x+π5）图象上所有的点向右平移π15个单位可得y＝2sin[3（x−π15）+π5]＝2sin3x的图象．故选：D．考点八由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式13．【多选】（2020•海南）如图是函数y＝sin（ωx+φ）的部分图象，则sin（ωx+φ）＝（ ）A．sin（x+π3） B．sin（π3−2x） C．cos（2x+π6） D．cos（5π6−2x）【解析】由图象知函数的周期T＝2×（2π3−π6）＝π，即2π|ω|=π，即ω＝±2，当ω＝2时，由五点作图法，得2×π6+φ＝π，所以φ=2π3，则f（x）＝sin（2x+2π3）＝cos（π2−2x−2π3）＝cos（﹣2x−π6）＝cos（2x+π6）＝sin（π2−2x−π6）＝sin（π3−2x），当ω＝﹣2时，由五点作图法，得﹣2×π6+φ＝0，所以φ=π3，所以f（x）=sin(−2x+π3)=cos(2x+π6)．故选：BC．14．（2023•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），如图，A，B是直线y=12与曲线y＝f（x）的两个交点，若|AB|=π6，则f（π）＝ ．【解析】由题意：设A（x1，12），B（x2，12），则x2﹣x1=π6，由y＝Asin（ωx+φ）的图象可知：ωx2+φ﹣（ωx1+φ）=5π6−π6=2π3，即ω（x2﹣x1）=2π3，∴ω＝4，又f（2π3）＝sin（8π3+φ）＝0，∴8π3+φ＝kπ，k∈Z，即φ=−8π3+kπ，k∈Z，观察图象，可知当k＝2时，φ=−2π3满足条件，∴f（π）＝sin（4π−2π3）=−32．故答案为：−32．考点九三角恒等变换15．（2023•新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2α+2β）＝（ ）A．79 B．19 C．−19 D．−79【解析】因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα=13，cosαsinβ=16，所以sinαcosβ=12，所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=12+16=23，则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×49=19．故选：B．16．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sinβ，则（ ）A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【解析】解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sinβ，所以2sin（α+β+π4）＝22cos（α+π4）sinβ，即sin（α+β+π4）＝2cos（α+π4）sinβ，所以sin（α+π4）cosβ+sinβcos（α+π4）＝2cos（α+π4）sinβ，所以sin（α+π4）cosβ﹣sinβcos（α+π4）＝0，所以sin（α+π4−β）＝0，所以α+π4−β=kπ，k∈Z，所以α﹣β＝kπ−π4，所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故选：C．17．（2019•上海）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象