专题07 数列（解析版）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编专题07数列考点一数列的函数特性1．（2020•浙江）已知数列满足，则 ．【解析】数列满足，可得，，，所以．故答案为：10．考点二等差数列的性质2．（2023•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则 A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】若是等差数列，设数列的首项为，公差为，则，即，故为等差数列，即甲是乙的充分条件．反之，若为等差数列，则可设，则，即，当时，有，上两式相减得：，当时，上式成立，所以，则（常数），所以数列为等差数列．即甲是乙的必要条件．综上所述，甲是乙的充要条件．故本题选：．考点三等差数列的前n项和3．（2022•上海）已知等差数列的公差不为零，为其前项和，若，则，2，，中不同的数值有 个．【解析】等差数列的公差不为零，为其前项和，，，解得，，，，1，，中，，，其余各项均不相等，，，中不同的数值有：．故答案为：98．4．（2020•上海）已知数列是公差不为零的等差数列，且，则 ．【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，所以．故答案为：．5．（2020•海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为 ．【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前项和为，故答案为：．6．（2021•新高考Ⅱ）记是公差不为0的等差数列的前项和，若，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求使成立的的最小值．【解析】（Ⅰ）数列是公差不为0的等差数列的前项和，若，．根据等差数列的性质，，故，根据可得，整理得，可得不合题意），故．（Ⅱ），，，，即，整理可得，当或时，成立，由于为正整数，故的最小正值为7．考点四等比数列的前n项和7．（2023•新高考Ⅱ）记为等比数列的前项和，若，，则 A．120 B．85 C． D．【解析】等比数列中，，，显然公比，设首项为，则①，②，化简②得，解得或（不合题意，舍去），代入①得，所以．故选：．考点五等差数列与等比数列的综合8．（2022•浙江）已知等差数列的首项，公差．记的前项和为．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若对于每个，存在实数，使，，成等比数列，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为等差数列的首项，公差，因为，可得，即，，即，整理可得：，解得，所以，即；（Ⅱ）因为对于每个，存在实数，使，，成等比数列，则，，整理可得：，则△恒成立在，整理可得，当时，可得或，而，所以的范围为；时，不等式变为，解得，而，所以此时，，当时，，则符合要求，综上所述，对于每个，的取值范围为，，使，，成等比数列．9．（2022•新高考Ⅱ）已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且．（1）证明：；（2）求集合，中元素的个数．【解析】（1）证明：设等差数列的公差为，由，得，则，由，得，即，．（2）由（1）知，，由知，，，即，又，故，则，故集合，中元素个数为9个．10．（2020•上海）已知各项均为正数的数列，其前项和为，．（1）若数列为等差数列，，求数列的通项公式；（2）若数列为等比数列，，求满足时的最小值．【解析】（1）数列为公差为的等差数列，，，可得，解得，则；（2）数列为公比为的等比数列，，，可得，即，则，，，即为，即，可得，即的最小值为7．考点六数列递推式11．（2022•浙江）已知数列满足，，则 A． B． C． D．【解析】，为递减数列，又，且，，又，则，，，，则，；由得，得，累加可得，，，；综上，．故选：．12．（2020•浙江）已知等差数列的前项和，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是 A． B． C． D．【解析】在等差数列中，，，，，，，，，，，根据等差数列的性质可得正确，．若，则，成立，正确，．若，则，即，得，，，符合，正确；．若，则，即，得，，，不符合，错误；故选：．13．（2019•浙江）设，，数列满足，，，则 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，【解析】对于，令，得，取，，当时，，故错误；对于，令，得或，取，，，，当时，，故错误；对于，令，得，取，，，，当时，，故错误；对于，，，，，递增，当时，，，，．故正确．故选：．14．【多选】（2021•新高考Ⅱ）设正整数，其中，，记，则 A． B． C． D．【解析】，，对；当时，，（7）．，（2），（7）（2），错；，．，．对；，，对．故选：．15．（2021•上海）已知，2，，对任意的，或中有且仅有一个成立，，，则的最小值为 ．【解析】设，由题意可得，，恰有一个为1，如果，那么，，，，同样也有，，，，，全部加起来至少是；如果，那么，，，同样也有，，，，，全部加起来至少是，综上所述，最小应该是31．故答案为：31．16．（2019•上海）已知数列前项和为，且满足，则 ．【解析】由，①得，即，且，②①②得：．数列是等比数列，且．．故答案为：．17．（2022•上海）数列对任意且，均存在正整数，，满足，，．（1）求可能值；（2）命题：若，，，成等差数列，则，证明为真，同时写出逆命题，并判断命题是真是假，说明理由；（3）若，成立，求数列的通项公式．【解析】（1），或．（2），，，，，，，为等差数列，，．逆命题：若，则，，，，，，，为等差数列是假命题，举例：，，，，，，，，．（3）因为，，，，，以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明恒成立：当，明显成立，假设时命题成立，即，则，则，命题得证．回到原题，分类讨论求解数列的通项公式：1．若，则矛盾，2．若，则，，，此时，，3．若，则，，，（由（2）知对任意成立），，事实上：矛盾．综上可得．18．（2021•浙江）已知数列的前项和为，，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，记的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）由可得，两式作差，可得：，，很明显，，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为：．（Ⅱ）由，得，，，两式作差可得：，则．据此可得恒成立，即恒成立．时不等式成立；时，，由于时，故；时，，而，故：；综上可得，．考点七数列的求和19．（2021•浙江）已知数列满足，．记数列的前项和为，则 A． B． C． D．【解析】因为，所以，所以，，，故，由累加法可得当时，，又因为当时，也成立，所以，所以，，故，由累乘法可得当时，，所以．另解：设，，，可得在递增，接下来运用待定系数法估计的上下界，设，则探索也满足上界的条件．．在此条件下，有，注意到，取，，从而，此时可得．故选：．20．（2021•上海）已知为无穷等比数列，，的各项和为9，，则数列的各项和为 ．【解析】设的公比为，由，的各项和为9，可得，解得，所以，，可得数列是首项为2，公比为的等比数列，则数列的各项和为．故答案为：．21．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折次，那么 ．【解析】易知有，，共5种规格；由题可知，对折次共有种规格，且面积为，故，则，记，则，，，．故答案为：5；．22．（2023•新高考Ⅱ）已知为等差数列，，记，为，的前项和，，．（1）求的通项公式；（2）证明：当时，．【解析】（1）设等差数列的公差为，，为的前项和，，，则，即，解得，故；（2）证明：由（1）可知，，，当为偶数时，，，，当为奇数时，，，，故原式得证．23．（2023•新高考Ⅰ）设等差数列的公差为，且．令，记，分别为数列，的前项和．（1）若，，求的通项公式；（2）若为等差数列，且，求．【解析】（1），，根据题意可得，，，又，解得，，，；（2）为等差数列，为等差数列，且，根据等差数列的通项公式的特点，可设，则，且；或设，则，且，①当，，时，则，，，又，解得；②当，，时，则，，，又，此时无解，综合可得．24．（2021•新高考Ⅰ）已知数列满足，（1）记，写出，，并求数列的通项公式；（2）求的前20项和．【解析】（1）因为，，所以，，，所以，，，，所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列，所以．另解：由题意可得，，其中，，于是，．（2）由（1）可得，，则，，当时，也适合上式，所以，，所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，则的前20项和为．25．（2020•海南）已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）求．【解析】（1）设等比数列的公比为，则，，，．（2）令，则，所以，所以数列是等比数列，公比为，首项为8，，．26．（2020•山东）已知公比大于1的等比数列满足，．（1）求的通项公式；（2）记为在区间，中的项的个数，求数列的前100项和．【解析】（1）设等比数列的公比为，，，，解得或（舍去），，，（2）记为在区间，中的项的个数，，，故，，，，，，，，，，，，，，，，，可知0在数列中有1项，1在数列中有2项，2在数列中有4项，，由，可知，．数列的前100项和．27．（2020•浙江）已知数列，，满足，，．（Ⅰ）若为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（Ⅱ）若为等差数列，公差，证明：，．【解析】（Ⅰ）解：由题意，，，，，整理，得，解得（舍去），或，，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，，．，则，，，，各项相加，可得．（Ⅱ）证明：依题意，由，可得，两边同时乘以，可得，，数列是一个常数列，且此常数为，，，又，，，，，故得证．考点八数列与不等式的综合28．（2022•新高考Ⅰ）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列．（1）求的通项公式；（2）证明：．【解析】（1）已知，是公差为的等差数列，所以，整理得，①，故当时，，②，①②得：，故，化简得：，，，，；所以，故（首项符合通项）．所以．证明：（2）由于，所以，所以．考点九数列与函数的综合29．（2023•上海）已知，在该函数图像上取一点，过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，若，则过点，做函数的切线，该切线与轴的交点记作，以此类推，，，直至停止，由这些项构成数列．（1）设属于数列，证明：；（2）试比较与的大小关系；（3）若正整数，是否存在使得、、、、依次成等差数列？若存在，求出的所有取值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）证明：，则过点，的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令，可得，根据题意可知，，即得证；（2）先证明不等式，设，则，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，则（1），即，结合（1）可知，；（3）假设存在这样的符合要求，由（2）可知，数列为严格的递减数列，，2，3，，，由（1）可知，公差，，先考察函数，则，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，则至多只有两个解，即至多存在两个，使得，若，则，矛盾，则，当时，设函数，由于，，则存在，使得，于是取，，，它们构成等差数列．综上，．30．（2019•浙江）设等差数列的前项和为，，．数列满足：对每个，，，成等比数列．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）记，，证明：，．【解析】（Ⅰ）设数列的公差为，由题意得，解得，，，．，，数列满足：对每个，，，成等比数列．，解得，解得，．（Ⅱ）证明：，，用数学归纳法证明：①当时，，不等式成立；②假设，时不等式成立，即，则当时，，即时，不等式也成立．由①②得，．考点十数列的应用32．（2022•新高考Ⅱ）图1是中国古代建筑中的举架结构，，，，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中，，，是举，，，，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，，，．已知，，成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则 A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9【解析】设，则，，，由题意得：，，且，解得，故选：．33．（2022•上海）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是 A．若，