高三数学函数值域的常见求法8大题型（学生版）

函数值域的求法8大题型命题趋势函数的值域是函数概念中三要素之一，是高考中的必考内容，具有较强的综合性，贯穿整个高中数学的始终。在高考试卷中的形式千变万化，但万变不离其宗，真正实现了常考常新的考试要求，考生在复习过程中首先要掌握一些简单函数的值域求解的基本方法，其次要多看多练在其他板块中涉及值域类型的内容。满分技巧一、求函数值域的常见方法1.直接法：对于简单函数的值域问题，可通过基本初等函数的图象、性质直接求解；2.逐层法：求f1(f2⋯fn(x))型复合函数的值域，利用一些基本初等函数的值域，从内向外逐层求函数的值域；3.配方法：配方法是二次型函数值域的基本方法，即形如“y=axx+bx+c(a≠0)”或“y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)”的函数均可用配方法求值域；4.换元法：利用换元法将函数转化为易求值域的函数，常用的换元有ax+bcx+d(1)y=或y=的结构，可用“cx+d=t”换元；cx+dax+b(2)y=ax+b±cx+d(a,b,c,d均为常数，a≠0,c≠0)，可用“cx+d=t”换元；ππ(3)y=bx±a2-x2型的函数，可用“x=acosθ(θ∈[0,π])”或“x=asinθθ∈-,”换元；22ax+bax+ba5.分离常数法：形如y=(ac≠0)的函数，应用分离常数法求值域，即y==+cx+dcx+dcbc-ad，然后求值域；c2x+dcb6.基本不等式法：形如y=ax+(ab>0)的函数，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函x数的值域时，要注意条件“一正、二定、三相等”，即利用a+b≥2ab求函数的值域(或最值)时，应满足三个条件：①a>0,b>0；②a+b(或ab)为定值；③取等号的条件为a=b，三个条件缺一不可；7.函数单调性法：确定函数在定义域上的单调性，根据函数单调性求出函数值域(或最值)(1)形如y=ax+b-cx+d(ac<0)的函数可用函数单调性求值域；b(2)形如y=ax+的函数，当ab>0时，若利用基本不等式等号不能成立时，可考虑利用对勾函数x求解；b当ab<0时，y=ax+在(-∞,0)和(0,+∞)上为单调函数，可直接利用单调性求解。xasinxacosx8.函数的有界性法：形如y=(或y=)(其中a,b,c不为0)的函数求值域或最值，c+bsinxc+bcosxc可用y表示出sinx(或cosx)，再根据-1≤sinx≤1且sinx≠-(或-1≤cosx≤1且cosx≠bc-)，列出关于y的取值范围.b类似地，有：①x2=f(y)，则f(y)≥0；②ax=h(y)，则h(y)>0；③sinx=g(y)，则-1≤g(y)≤12a2x+b2x+c229.判别式法：形如y=2(a1a2≠0)或y=Ax+Bax+bx+c(ABa≠0)的函数求值域，a1x+b1x+c1可将函数转化为关于x的方程F(x,y)=0，利用二次项系数不为0，判别式Δ≥0或二次项系数为0，一次方程有解得出函数的值域。10.导数法：对可导函数f(x)求导，令f(x)=0，求出极值点，判断函数单调性；如果定义域是闭区间，则函数最值一定取在极值点处或区间端点处；如果定义域是开区间且函数存在最值，则函数最值一定取在极值点处。二、根据最值条件求解参数范围解题思路已知函数的最值求参数范围时，要视参数为已知数，结合函数值域(或最值)的求法，得到函数的最值(含有参数)，再与给出的函数最值作比较，求出参数范围。热点题型解读【题型1单调性法求函数值域或最值】1【例1】(2022秋·陕西西安·高三校考期中)函数f(x)=-2x在区间[1,2]上的最小值是()x77A.-B.C.1D.-122【变式1-1】(2022秋·北京·高三北京市第一六一中学校考期中)已知函数fx=ex+x，则fx的值域是_____.π4【变式1-2】(2022春·浙江舟山·高三校考开学考试)已知x∈0,，则函数y=cosx+()2cosx高考加油A.有最小值4B.有最大值4C.无最小值D.有最大值+∞【变式1-3】(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=lnx+ln(2-x)的最大值为______.mx+1【变式1-4】(2022秋·江苏苏州·高三校联考阶段练习)已知函数f(x)=是R上的偶函数1+x2(1)求实数m的值，判断函数f(x)在[0,+∞)上的单调性；(2)求函数f(x)在[-3,2]上的最大值和最小值．【变式1-5】(2022秋·黑龙江牡丹江·高三校考阶段练习)已知函数f(x)=b⋅ax(a>0，且a≠1)的图象经过点A(1,4)，B(3,16).(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)=f(x)-f(-x)(x≥2)，求函数g(x)的值域【题型2配方法求函数值域或最值】【例2】(2022秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学阶段练习)函数y=-x2+4x-4的值域是_____.x-112【变式2-1】(2023·全国·高三专题练习)若函数f=-+1，则函数gx=fx-4x的最小xx2x值为()A.-1B.-2C.-3D.-4【变式2-2】(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=x+21-x的最大值为_______．【变式2-3】(2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习)已知函数fx=sinx+cosx+2sinxcosx+2，则fx的最大值为()．A.3+2B.3-2C.2+2D.2-2【变式2-4】(2022秋·北京·高三校考阶段练习)函数fx=sinx-cos2x是()A.奇函数，且最小值为-2B.偶函数，且最小值为-299C.非奇非偶函数，且最小值为-D.非奇非偶函数，且最大值为88x-12x+1x2+ax+b【变式2-5】(2022·全国·高三专题练习)已知函数fx=，对任意非零实数x21x，均满足fx=f-.则f-1的值为___________；函数fx的最小值为_______x____.【题型3分离常数法求函数值域或最值】cosx+1【例3】(2022秋·河南郑州·高三校考阶段练习)函数y=的值域是()2cosx-1A.-∞,0∪4,+∞B.-∞,0∪2,+∞C.0,4D.0,2x2-1【变式3-1】(2022秋·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习)函数fx=的值域x2+3x+2为________．【变式3-2】(2022秋·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习)已知x∈0,3，则y2x-81=+的最小值___________，此时x=___________.x-32xx2+x【变式3-3】(2022秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知1≤x≤4，则函数fx=的值域x3+x2+4x+4为______．公众号：高中数学最新试题【变式3-4】(2023·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=2x+k⋅2-x.(1)若f(x)在(1,+∞)是增函数，求实数k的取值范围；(2)若f(x)+11()2-32-3311A.,+∞B.-∞,C.1-,D.,+∞22222高考加油1-ax,x0，函数f(x)=ax-x2+2x-x2的最大值为2，则实数a的值为_____.限时检测(建议用时：60分钟)2x1.(2023·全国·高三专题练习)函数f(x)=的值域是()x+1A.-∞,-1∪1,+∞B.-∞,2C.-∞,2∪2,+∞D.-1,+∞2.(2019秋·黑龙江鸡西·高三鸡西实验中学校考阶段练习)函数y=x-3-41≤x≤4的值域为()A.-4,-2B.-4,-3C.-3,4D.-3,-2sinx-13.(2022·全国·高三专题练习)函数f(x)=x∈0,2π的最小值是()3-2cosx-2sinx2A.-B.-1C.-2D.-32x4.(2021秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔