20种排列组合问题的具体方法技巧

20种排列组合问题的具体方法技巧排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，但只要掌握【排列组合题目的总体原则与方法】，再加上下面要学习这些具体的方法技巧，就可以做到以不变应万变，搞定所有排列组合题目！复习巩固基础知识：1、排列组合（1）排列数n!Amn(n1)(n2)....(nm)1n(nm)!（2）组合数mmPnn!n(n1)...(nm1)CnmPmm!(nm)!m(m1)...212、计数原理（1）分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2mn种不同的方法．（2）分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1m2mn种不同的方法．（3）分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．排列组合题目的总体原则与方法（一般过程）如下:1.做什么：认真审题弄清要做什么事，用具体个例帮助理解2.怎样做：怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类；下面要学习的具体方法技巧可帮助你如何去完成具体某件事。3.如何计算：分步相乘，分类相加；确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素，用排列数与组合数帮助计算.一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.1先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有C3排法；1然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有C4种排法；1313C4A4C3最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有A4种排法；113∴由分步计数原理得C4C3A4288第1页共7页练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？25解：先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有A4不同种法，再其它葵花有A5不同种法，所以25共有不同种法AA45121201440种不同的种法．二.相邻元素捆绑策略例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进522行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有AAA522480种不同的排法．甲乙丙丁练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为202解：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有A520种不的情形．三.不相邻问题插空策略例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？5解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间454包含首尾两个空位共有种A6不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有AA56练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总A7排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：73A34(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有14种坐法，则共有A7种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）思考:可以先让甲乙丙就坐吗?34（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有CA74方法．（先选三个座位坐3434下甲，乙，丙共有C7种选法，余下四个空位排其它四人共有A4种排法，所以共有CA74种方法．）练习题:510人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C10五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有76种不同的排法练习题：1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法78六.环排问题直排策略如果在圆周上m个不同的位置编上不同的号码，那么从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排第2页共7页在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从n个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个m个元素的环形排列，相当于一个有m个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m个元素的环形排列对应着m个直线排列，设从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为N个，则对应的直线排列数为mN个，又因为从n个元素中取Am出m个元素的排成一排的排列数为Am个，所以mNAm，所以Nn．nnmAm即从n个元素中取出m个元素组成的环形排列数为Nn．mAnn!n个元素的环形排列数为Nn(n1)!nn例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?4解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(81)!7!种排法，即7!7654321840种CDBEAABCDEFGHAFHG练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七.多排问题直排策略例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有215A4种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,215则共有AAA445种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346解：由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，1111与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列CCCC6181417108238346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.2解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4424个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方法共有CA54练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？（注：两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．222解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有A2种排法，再排小集团内部共有AA22种排法，由222分步计数原理共有AAA222种排法.练习题：１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连254在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为AAA2542552.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有AAA255种第3页共7页十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位6置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C9种分法．注：这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．一二三四五六七班班班班班班班练习题：410个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？C932.xyzw100求这个方程组的自然数解的组数C103十一.正难则反总体淘汰策略（间接法）例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇312数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C5,只含有1个偶数的取法有CC55,和为偶数的取法共有123123CCC555．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有CCC5559练习题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？222解:分三步取书得CCC642种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取222AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则CCC642中还有3(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有A3种取法,而这些分法仅是CCC222(AB,CD,EF)一种分法,故共有642种分法．3A3n平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An(n为均分的组数)避免重复计数。练习题：CCC5441将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？（1384）2A22.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安CCA222排2名，则不同的安排方案种数为______（426）290A2十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节第4页共7页目,有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究22只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有CC33种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员11222CCC534种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有CC55种，由分类计数原理共有2211222CCCCCCC3353455种．解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。本题还有如下分类标准：○*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；○*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；○*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正