2023年数学九年级上册北师大版专题05 一元二次方程的应用（解析版）

专题05一元二次方程的应用图形问题1.（2022秋·广东珠海·九年级珠海市文园中学校考期中）在一幅长，宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是，设金色纸边的宽为，那么满足的方程是(   )A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意得，风景画的长和宽分别为，再根据面积为即可列出对应的方程．【详解】解：设金色纸边的宽为，则风景画的长和宽分别为，由题意得，，故选B．【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．2.（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．若设的长度为x米，矩形菜园面积为S平方米．(1)写出S与x的关系式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长；(3)求矩形菜园面积的最大值．【答案】(1)(2)(3)当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，当时，最大值为1250平方米．【分析】（1）根据题意得出，然后求面积即可；（2）利用（1）中结论，直接代入求解即可；（3）将（1）中结果化为顶点式，然后分两种情况分析即可．【详解】（1）解：设．则，∴；（2）由（1）得，则解得，（舍去），∴的长为；（3）①当时，由（1）得，∵，∴时，S的最大值为1250．②当时，则，S随的增大而增大，当时，的最大值为；综上所述，当时，矩形菜园面积的最大值为平方米，当时，最大值为1250平方米．【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式进行分类讨论是解题关键．3．（2022秋·北京·九年级校考期中）如图，用一条长的绳子围成矩形，设边的长为．(1)边的长为______m，矩形的面积为______（均用含的代数式表示）；(2)矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．【答案】(1)；(2)矩形的面积不可以是，理由见解析．【分析】（1）根据矩形的周长公式求得边的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形的面积；（2）根据矩形的面积公式得到关于x的方程，通过解方程求得答案．【详解】（1）根据题意，知边的长为∶，矩形的面积为∶；故答案是∶；（2）若矩形的面积是，则．化为一般式为：，这个方程无解．矩形的面积不可以是．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．增长率问题4.（2020秋·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）A．1000（1+x）2＝1000+440 B．1000（1+x）2＝440C．440（1+x）2＝1000 D．1000（1+2x）＝1000+440【答案】A【分析】根据第一个月的单车数量×(1+x)2=第三个月的单车数量可以列出相应的一元二次方程，进而可得答案．【详解】解：由题意可得，1000（1+x）2＝1000+440．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．5.（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），则（用百分数表示）．【答案】30%【分析】由题意：2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设新注册用户数的年平均增长率为x（），则2020年新注册用户数为100（1+x）万，2021年的新注册用户数为100（1+x）2万户，依题意得100（1+x）2=169，解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合题意舍去），∴x=0.3=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.（2022秋·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元．求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率．【答案】20%【分析】设该企业订单额的月平均增长率为x，根据该企业2020年3月及5月的出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，依题意，得：1000(1+x)2=1440，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．营销问题7.（2022秋·福建泉州·九年级福建省惠安第一中学校联考期中）某种手链工艺品每串的盈利与手链上的珍珠个数有一定的关系：每串3粒珍珠时，平均每粒珍珠盈利40元；若每串增加一粒珍珠，则每粒珍珠盈利就减少5元．要使每串手链的盈利达到150元，每串应增加多少粒珍珠？设每串增加x粒珍珠，则下列方程正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可知每串增加x粒珍珠后，此时有粒珍珠，根据每串增加一粒珍珠，则每粒珍珠盈利就减少5元，可知此时每粒珍珠盈利元，用珍珠数量乘以每粒珍珠盈利即为每串手链的盈利，列出方程即可．【详解】解：设每串增加x粒珍珠，由题意得：，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据珍珠数量乘以每粒珍珠盈利即为每串手链的盈利列出方程是解答本题的关键．8.（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元/件的小商品进行直播销售，如果按每件50元销售，那么可卖出200件．通过市场调查发现，售价每增加1元，销售量减少10件．为了尽快减少库存，并且商店可盈利2160元．问：该商店销售这种商品每件售价多少元？【答案】52元【分析】设该商店销售这种商品每件售价元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．【详解】解：设该商店销售这种商品每件售价元，根据题意，得：解得：，因为要尽快减少库存，所以答：该商店销售这种商品每件售价52元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．9．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期中）春节是中国的传统节日，每年元旦节后是购物的高峰期，2023年元月某水果商从农户手中购进A、B两种红富士苹果，其中A种红富士苹果进货价为28元/件，销售价为42元/件，其中B种红富士苹果进货价为22元/件，销售价为34元/件．（注：利润销售价进货价）(1)水果店第一次用720元购进A、B两种红富士苹果共30件，求两种红富士苹果分别购进的件数；(2)第一次购进的红富士苹果售完后，该水果店计划再次购进A、B两种红富士苹果共80件（进货价和销售价都不变），且进货总费用不高于2000元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？(3)春节临近结束时，水果店发现B种红富士苹果还有大量剩余，决定对B种红富士苹果调价销售．如果按照原价销售，平均每天可售4件．经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元？【答案】(1)A中苹果购进10件，B中苹果购进20件(2)购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元(3)将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元【分析】（1）设A，B两种苹果分别购进件和件，列方程组求解即可．（2）设购进A种苹果件，利润为元，列出关于的函数关系式讨论最值即可．（3）设B种苹果降价元销售，根据利润元，列出一元二次方程求出，得到结果．【详解】（1）解：设A，B两种苹果分别购进件和件，由题意得：，解得，答：A中苹果购进10件，B中苹果购进20件．（2）解：设购进A种苹果件，则购进B种苹果件，由题意得：，，设利润为元，则，，随的增大额增大，当时，．故购进A种苹果40件，B中苹果40件时，获得最大销售利润为1040元．（3）解：设B种苹果降价元销售，则每天多销售件，每天每件利润为元，由题意得：，解得，或，为了尽快减少库存，，，答：将销售价定为每件27元时，才能使B种红富士苹果平均每天销售利润为90元．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一次函数，一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题意找出等量或不等关系是解题关键．数字问题10.（2020秋·江苏苏州·九年级统考期中）一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项．【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，；故选C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．11.（2018·山东青岛·九年级统考期中）一个两位数，它的数值等于它的个位上的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2．若设个位数字为x，列出求该两位数的方程式为．【答案】10（x+2）+x=3x2．【详解】试题分析：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，根据题意表示出这个两位数，列出方程．解：设个位数字为x，则这个数为3x2，十位数字为x+2，由题意得，10（x+2）+x=3x2．故答案为10（x+2）+x=3x2．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．12．（2020秋·广东茂名·九年级校联考期中）两个连续偶数的平方和是100，求这两个数.若设最小的数为x，则可列方程为.【答案】x2＋(x＋2)2＝100【分析】两个连续偶数中最小的一个数为x，则另外一个数为：（x+2），依题意列方程．【详解】解：设两个连续偶数中最小的一个数为x，则另外一个数为：（x+2），依题意得：，故答案为：．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，设两个连续偶数中最小的一个数为x，可使运算简便，两个连续偶数的平方和，即对这两个数先平方，再求和．工程问题13.（2022秋·四川达州·九年级校考期中）公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；(2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20%(2)在增加产能同时又要节省投入的条件下，增加4条生产线【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解；（2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解．【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x．依题意，得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．（2）解：设增加x条生产线．，解得，（不符合题意，舍