高考数学专题09 双曲线与平面向量的交汇问题（解析版）

双曲线必会十大基本题型讲与练09双曲线与平面向量的交汇问题典例分析类型一：以平面向量数量积为条件情境1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在双曲线上且，若的内切圆的半径为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用双曲线定义知，再利用垂直关系知，再结合的等面积法即可求解.【详解】由点A在双曲线上，由双曲线定义知，又，，，，即，，设的内切圆的半径为，由的等面积法知，即的内切圆的半径为，2．已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若，则此双曲线的渐近线为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】通过得到，结合题干中的斜率条件表达出点坐标，再代入双曲线方程求解与的关系，求解渐近线方程.【详解】因为，所以，故三角形是等腰三角形，即，又因为，过点A作AB⊥x轴于点B，则，设，，由勾股定理得：，解得：，故，把A点代入双曲线方程，得：，解得：，显然=0，所以，所以双曲线的渐近线为3．以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，则（       ）A．2 B．4C．1 D．－1【答案】A【解析】由题意可得双曲线方程，转换条件为，进而可得F1M平分∠PF1F2，再由内切圆的性质可得点M(2,1)就是△F1PF2的内心，即可得解.【详解】由题意，双曲线方程为，|PF1|－|PF2|＝4，由，可得，所以F1M平分∠PF1F2，设△F1PF2内切圆与各边的切点分别为，如图，则，所以点为双曲线右顶点，△F1PF2的内心在直线x＝2上，所以点M(2,1)就是△F1PF2的内心，△F1PF2内切圆的半径为1，故.类型二：以平面向量数量积为问题情境1．、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理结合双曲线的定义可求得，结合平面向量数量积的运算性质可求得结果.【详解】在双曲线中，，，，则、，因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，，则为直角三角形，可得，由双曲线的定义可得，所以，，可得，联立，解得，因此，.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．2．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抛物线方程可求得坐标，进而求得双曲线方程；设，利用平面向量数量积的坐标运算以及点在双曲线上可将表示为，由在轴上方知，由二次函数最值求法可求得结果.【详解】由抛物线方程知：，，解得：；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且，，当时，取得最小值，最小值为.【点睛】本题考查双曲线中的平面向量数量积的最值求解问题，易错点是容易忽略题目中双曲线位于轴上方的点的纵坐标的取值范围，从而造成最值点求取错误.3．已知点，若为双曲线的右焦点，是该双曲线上且在第一象限的动点，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先设，根据题中所给的双曲线方程，写出其右焦点坐标，之后求得，之后应用线性规划的思想，结合是该双曲线上且在第一象限的动点，从而求得其范围.【详解】设，因为为双曲线的右焦点，所以，所以，令，则是与渐近线平行的直线，直线过时，，直线为渐近线时，，因为是该双曲线上且在第一象限的动点，所以，即所求的取值范围为.4．（多选题）已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（       ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】设点，可得或，且有，求得，设，利用二次函数的基本性质求得函数在上的值域，由此可得出合适的选项.【详解】设点，则或，且有，可得，，，，令，其中或，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数单调递减，此时；②当时，函数单调递增，此时.综上所述，函数在上的值域为.因此，的值可以是、、.5．在平面直角坐标系中，过方程所确定的曲线C上点的直线与曲线C相切，则此切线的方程.（1）若，直线过点被曲线C截得的弦长为2，求直线的方程；（3）若，，过坐标原点斜率的直线交C于P、Q两点，且点P位于第一象限，点P在x轴上的投影为E，延长QE交C于点R，求的值.【答案】（1）或；（2）0.【分析】（1）利用圆的弦长公式计算求解，注意先验证直线斜率不存在的情况；（2）设P(x1,y1),R(x2,y2),则Q(-x1,-y1),E(x1,0),写出EQ的方程，与曲线C的方程联立，根据Q，R的横坐标-x1,x2是这个方程的两实数根，利用韦达定理求得，进而计算可得.【详解】（1）当时，曲线C的方程为,这是以原点为圆心，r=2为半径的圆，直线l过点,当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为,代入圆的方程得,，∴直线l被圆所截得弦长为2，符合题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k,则直线l的方程为，即,由弦长为2，半弦长为1，圆的半径为2，所以圆心到直线l的距离为,由点到直线的距离公式得,解得,所以直线l的方程为：；（2）设,则),则直线EQ:代入曲线C的方程并整理得：,Q，R的横坐标是这个方程的两实数根，∴,∴,,,由于,∴类型三：以平面向量共线向量为条件情境1．已知直线与双曲线（）交于、两点，与轴交于点，若，则的值为A． B． C． D．2【答案】A【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A、B两点的坐标关系，再由找到A、B两点横坐标的关系，结合根与系数的关系得到关于a的方程，从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联系得，设，∵，∴，∴，，，∴，，，∴，解得，【点睛】本题是考查双曲线和直线位置关系的综合题目，解题的关键是如何利用已知的向量条件构造关于a的方程，还考查了一元二次方程根与系数的关系，并且对学生的运算能力要求较高，属于中档题.2．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（       ）A．3 B．2 C． D．【答案】C【分析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率．【详解】由题意，又，所以，从而，，，中，，中．，所以，，所以，3．（多选题）已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（       ）A． B．－ C． D．－【答案】AB【分析】利用成等差数列，求得，设左焦点为，则．令，利用余弦定理求得的值，从而求得，利用同角三角函数的基本关系式求得，从而求得直线的斜率.【详解】因为成等差数列，所以，所以．设左焦点为，则．令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．类型四：以平面向量共线向量、数量积为条件情境的综合性问题1．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，两点，若，，则直线的斜率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据点差法，结合平面向量坐标表示公式、斜率的公式进行求解即可.【详解】设，，，由题可知，是线段的中点，，∴，∵，分别是双曲线右支上的点，∴两式相减并整理得，∴，即，又，∴，∴.2．在平面直角坐标系中，双曲线的左右焦点分别是和，双曲线的右支上有A、B在第一象限两点，满足，并且，则直线的斜率是（       ）A． B． C．2 D．4【答案】A【分析】根据向量知识推出，得为线段的靠近的一个三等分点，根据得到，设，则，根据双曲线的定义求出和，再根据勾股定理可得，在直角三角形中，求出即可得解.【详解】因为，所以，所以，所以为线段的靠近的一个三等分点，设，则，根据双曲线的定义可知，，因为，所以，在直角三角形中，由勾股定理得，得，所以，所以，即直线的斜率是.3．已知双曲线的左，右焦点分别为，，过的直线分别与两条渐近线交于、两点，若，，则（       ）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】易知，可得，再结合双曲线的渐近线，可得为正三角形，且，从而可知为线段的中点.【详解】由，可知，则，因为双曲线的渐近线为，所以，，故为正三角形，且，所以为的中位线，为线段的中点，即，故.4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据向量共线和向量垂直的数量积为零，结合直线的倾斜角得到△为等腰直角三角形，所以在轴上，根据向量的投影的概念，结合已知向量等式得到,进而判定△为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和双曲线的定义得到关于的关系，进而求得斜率.【详解】存在，使，说明为线段上的点，说明，即为直角，过且斜率为的直线与其左支交于点，说明，所以△为等腰直角三角形，所以在轴上，是在上的投影，是在上的投影，分别是线段和的长度，，说明,∴,∴△≌△,∴△为等腰直角三角形，,∴双曲线的离心率为,5．（多选题）已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（       ）A．直线与轴垂直 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）【答案】AB【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A选项的正误；求出点的坐标，代入双曲线的方程，求出该双曲线的离心率，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选项的正误；利用两点间的距离公式可判断D选项的正误.【详解】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；不妨设点在第一象限，易知，，，即点，设，由，得，所以，所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确；，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；不妨设点在第一象限，则，所以，D错误．6．已知是双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点满足，若.则以为圆心，为半径的圆的面积为________.【答案】【分析】延长交于点，由向量数量积和线性运算可知为线段的垂直平分线，结合双曲线定义可求得，利用中位线性质可求得，进而得到结果.【详解】延长，交于点，如下图所示：，为的角平分线，又，，为线段的垂直平分线，.由双曲线定义知：，，，分别为中点，，以为圆心，为半径的圆的面积.【点睛】本题考查双曲线性质和定义的综合应用，涉及到平面向量数量积和线性运算的应用；解题关键是能够通过平面向量的线性运算和数量积运算确定垂直和平分关系.类型五：共线向量、数量积与线探索性问题交汇1．设定点，常数，动点，设，，且．（1）求动点的轨迹方程；（2）设直线：与点的轨迹交于，两点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）不存在．见解析【分析】（1）根据向量的表达式,可推断出点到两个定点,的距离之差为4,根据双曲线的定义判断出其轨迹为双曲线,进而根据和,求得,即可求得动点的轨迹方程．（2）设将直线的方程代入椭圆的方程,消去得到关于的一元二次方程,再结合根与系数的关系利用向量数量积的坐标公式即可求得值,从判断的值是否存在．【详解】（1）由题意,∴动点的轨迹是以,为焦点的双曲线的右支,方程为；（2）由直线:与点的轨迹方程,联立可得设,,则,∵∴∴∴,∵,∴检验时,所以不存在2．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在；；定点．【分析】（1）由已知得到a、b、c的方程组，解出a、b、c，即可求出双曲线的方程；（2）设直线的方程为，设定点，联立方程组，用“设而不求法”表示出为常数，求出t，即可求出定点Q.【详解】(1