山东省济宁市实验中学2025届高三上学期10月月考数学试题word版含解析

济宁市实验中学2025届高三第一学期10月月考数学试题一、单选题1.已知集合或x>2，，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据并集的结果，列出不等式，求解即可得出答案.【详解】因为，所以，解得．所以，实数的取值范围是.故选：D.2.“或”是“幂函数在上是减函数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质可求参数的值，从而可判断两者之间的关系【详解】因为是幂函数且在上是减函数，故，故，故“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件，故选：B.3.函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解.【详解】因为对任意，都有成立，可得在上是单调递减的，则，解得.故选：A4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用和差公式、二倍角公式及平方关系化简，再把正弦余弦转化为正切即可求解.【详解】.故选：.5.函数y＝lg的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函数y＝lg的定义域,可排除A，C,再代入x＝9,求出y值,结合选项得出答案.【详解】函数y＝lg的定义域为{x|x≠－1}，由此排除A，C.当x＝9时，y＝lg＝－1＜0.由此排除B.故选:D.【点睛】本题考查函数的图象,考查函数的性质,考查学生的识图能力,属于基础题.6.当时，函数取得最大值，则（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知，即可解得，再根据f′x即可解出．【详解】因为函数定义域为0,+∞，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在0,1上递增，在1,+∞上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B.7.已知函数，则使有零点的一个充分条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判断，此时可得的单调性，依题意可得，令，结合函数的单调性及零点存在性定理得到存在使得，从而得到有零点的充要条件为，即可判断.【详解】因为，当时，，所以，没有零点，故A错误；当时与在上单调递增，所以在上单调递增，，要使有零点，则需，即，令，则在上单调递减，且，，，所以存使得，所以有零点的充要条件为，所以使有零点的一个充分条件是.故选：D8.已知函数，，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，然后结合的单调性，即可得到结果.【详解】因为且，所以，令且，则，当时，，故函数单调递增，当时，，故函数单调递减；所以，所以在上单调递增，令，则，所以在上单调递减，，即，则，即.故选：D二、多选题9.设函数，则（）A.当时，有三个零点B.当时，是极大值点C.存在a，b，使得为曲线的对称轴D.存在a，使得点为曲线的对称中心【答案】AD【解析】【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，故在上单调递增，时，，单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，由，，则，根据零点存在定理在上有一个零点，又，，则，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心10.若正实数a，b满足，则下列说法错误的是（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值4 D.有最小值【答案】AD【解析】【分析】求得最值判断选项A；求得最大值判断选项B；求得最小值判断选项C；求得最小值判断选项D.【详解】选项A：由（当且仅当时等号成立），得，故有最大值.判断错误；选项B：（当且仅当时等号成立），则，则有最大值判断正确；选项C：（当且仅当时等号成立），故有最小值4，判断正确；选项D：（当且仅当时等号成立），所以有最小值.判断错误.故选：AD.11.函数，关于x的方程，则下列正确的是（）A.函数的值域为RB.函数的单调减区间为C.当时，则方程有4个不相等的实数根D.若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解.【详解】①当时，，则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有.②当时，，，当，在0,1单调递增；当，在1,+∞单调递减，故，且恒有，综上①②可知，，综上，作出函数大致图象，如下图：对于A，由上可知函数的值域为，故A错误；对于B，函数的单调减区间为，故B正确；对于C，当时，则方程，解得或，由，得或，有两个实数根；由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为，所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根，即方程与方程共有3个不相等的实数根，又因为已有两个不等的实数根，则方程有且仅有1个根，且不为.所以与有且仅有1个公共点，由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解.三、填空题12.设正实数满足，则__________．【答案】【解析】【分析】根据对数的运算法则与性质化简即可得解.【详解】由，得．所以．故答案为：13.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则__________.【答案】4048【解析】【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出为周期为4的函数，从而可求解.【详解】由题意得为奇函数，所以，即，所以函数关于点中心对称，由为偶函数，所以可得为偶函数，则，所以函数关于直线对称，所以，从而得，所以函数为周期为4的函数，因为，所以，则，因为关于直线对称，所以，又因为关于点对称，所以，又因为，又因为，所以，所以.故答案为：4048.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数的奇偶性得到函数的周期，再求出一个周期内的值，最后求和即可.14.已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可.【详解】结合解析式可知当时，；当时，.因为，所以.令，得，则，故.令，则，令得；令得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，因为，所以.所以的取值范围为.故答案为：四、解答题15.函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B．（Ⅰ）求集合A，B；（Ⅱ）若集合A，B满足，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由一元二次不等式的求解方法可求得A集合，由指数函数的值域可求得集合B；（Ⅱ）由，得，根据集合的子集关系可得实数a的取值范围．【详解】（Ⅰ）A=，B=．（Ⅱ）∵，∴，显然，，∴或，∴或，即a的取值范围是．【点睛】本题考查集合的表示和化简，集合的交集运算，集合间的子集关系，属于中档题.16.已知，（1）求和的值（2）若，，求的大小．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得，以及求值；（2）条件等式由诱导公式可得，即可由和差公式求得，结合范围即可.【小问1详解】，；【小问2详解】，，∵，∴.17.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可.【小问1详解】当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即.【小问2详解】解法一：因为的定义域为R，且，若，则对任意x∈R恒成立，可知在R上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，由题意可得：，即，构建，则，可知0,+∞内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为1,+∞；解法二：因为的定义域为R，且，若有极小值，则有零点，令，可得，可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值，符合题意，由题意可得：，即，构建，因为则在0,+∞内单调递增，可知在0,+∞内单调递增，且，不等式等价于，解得，所以a的取值范围为1,+∞.18.如图，在扇形中，，半径.在弧上取一点C，向半径、分别作垂线，与线段、分别相交于D、E，得到一个四边形.（1）设，将四边形的面积S表示成x的函数；（2）求四边形的面积S的最大值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用直角三角形面积公式得到，然后利用二倍角公式，辅助角法化简求解.（2）由（1）知：，利用正弦函数的性质求解.详解】（1），，，，，要得到四边形则.（2）由（1）知：，因为所以，所以当，即时，四边形的面积S的最大值为.【点睛】本题主要考查三角函数的平面几何中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知函数．（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求a的取值范围；（3）设，证明：．【答案】（1）f(x)的减区间为，增区间为.（2）（3）见解析【解析】【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.【小问2详解】设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，所以在上为减函数，所以.综上，.【小问3详解】取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.