石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试数学答案

石家庄市第一中学2025届高考第一次模拟考试数学参考答案1．B2．C3．B4．C5．B6．C7．C8．C9．AC10．AD11．AB12．13．14．  15．（1）设等差数列的公差为，，由，且，，成等比数列，有，解得或（舍），（3分）有，所以数列的通项公式为；（6分）（2）由，有，（9分）有，可得.（13分）16．（1）由和余弦定理可得.因为为的内角，所以，故，（3分）由变形得，由正弦定理得.（7分）（2）选择条件①：，由正弦定理得，解得，因为为的内角，所以，故，与相互矛盾，故不存在这样的三角形，所以我们不选择条件①，选择条件②：，因为，，所以，解得，由余弦定理得，化简得，解得或（舍），所以.选择条件③：，因为，所以.因为，所以，由余弦定理得，化简得.解得或，当时，是直角三角形，与题干不符，故排除，所以.（15分）17．(1)证明：取三等分点，由等比例性质可得且，根据已知条件有且，再由平行四边形性质有，最后由线面平行的判定即可证结论.（6分）（2）法一：由题设易得平面，则为所求二面角的平面角，进而由已知条件及余弦定理即可求二面角的余弦值；法二：构建空间直角坐标系求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示求二面角余弦值.(1)取三等分点，则，且，故且，又，，即且，所以四边形为平行四边形，即，又平面，平面，故平面.(2)法一：由平面即平面，且，平面，所以平面，则为所求二面角的平面角，在等腰△中，，则，又，，由，即，所以，同求法可得，故所求二面角的余弦值为.（15分）法二：以的中点为坐标原点，以为轴为轴建系如图所示，则，，，，，所以，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，若，可得，，若，可得，所以，即二面角的余弦值为.（15分）18．（1）求出函数的定义域，再对函数求导，然后通导数的正负可求出函数的单调区间，（2）由函数有两个极值点可得方程的有两个不等正根，则有，求得，，将问题转化为可化为对恒成立，构造函数，利用导数求其最小值即可(1)的定义域为，由，求导得，令，得，解得，，（3分）所以当或时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减；（7分）(2)的定义域为，求导得，有两个极值点时，等价于方程的有两个不等正根，所以，所以，，（10分）此时不等式恒成立，等价于对恒成立，可化为对恒成立，令，则，令，得，得或（舍去），（13分）所以当时，，当时，，故所以在恒成立，所以在上单调递减，所以，所以.        故实数的取值范围是（17分）19．（1）设，，设直线的方程为，联立方程组，得，（2分）所以，，则，（3分）点到直线的距离为：，所以，令，（6分）则，当即时面积取得最大值，所以面积的最大值为.（8分）（2）设，，设直线的方程为，联立方程组，得，（10分）即所以，即，（12分）同理可得：，所以（15分）化简得：，当时，取得最大值.（17分）