学易金卷2025年高考考前押题密卷数学（全国卷）（理科）（参考答案）

2025年高考考前押题密卷数学（理科）·参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．123456789101112DBCBBBDDADAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．5 14． 15． 16．三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）【详解】（1）补全列联表如图所示产品合格品淘汰品总计调试前241640调试后481260总计7228100﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分故有的把握认为参数调试改变产品质量；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分（2）由题意，设备更新后的合格概率为，淘汰品概率为，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的，设表示这件产品中淘汰品的件数，则，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分所以.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分18.（12分）【详解】（1）由可得；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分（2）证明：由题可得，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分又因为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分则数列是首项为1，公比为2的等比数列；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分（3）由（2）可得，即，﹍﹍﹍﹍﹍8分，，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分前项和，，两式相减可得，化简可得．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分19．（12分）【详解】（1）在中，所以，即.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分又因为，在平面中，，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分所以平面.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分（2）因为平面平面，平面平面平面，所以平面，由平面，得.由（1）知，且已知，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分故以A为原点，建立如图空间直角坐标系，则，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分所以因为为中点，所以.由知，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分设平面的法向量为，则即令，则.于是.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分由（1）知平面，所以平面的法向量为.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分所以，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍11分由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分20．（12分）【详解】（1）由在椭圆上，轴，得半焦距，则，解得，所以椭圆的方程为.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分（2）由，，为椭圆上的四个动点且，交于原点，得，，由，得，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分当直线垂直于坐标轴时，等式不成立，因而直线的斜率一定存在且不为0，设直线的方程为，由，化简可得，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分，则，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分而，于是，则，整理得，解得，﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分由对称性不妨设，则，则，所以为定值.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分直线的方程为，即，则点到直线的距离为，显然，又，所以，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍11分当且仅当时取等号，此时，因此，，所以四边形面积的最大值为4.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分21．（12分）【详解】（1）由题可得，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分，．有，解得．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分（2）因为，令，，，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分，，由，所以在上递减，在上递增..所以，当时，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分（ⅰ）当时，，，由.所以在上递减，在上递增，当时，，，当时，，所以有1个零点．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分（ⅱ）当时，由，所以在上递减，在上递增，，①若，有唯一零点.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分②若，，当时，，当时，，所以有2个零点，不合题意；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分③若，，无零点，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分（ⅲ）当时，设满足，①若，在上大于等于0，故有单调递增，，故有唯一零点；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分②若，在递增，在递减，在递增，，有唯一零点；﹍﹍﹍﹍﹍11分③若，在递增，在递减，在递增，，有唯一零点；综上，若有唯一零点，a的取值范围是或.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍12分（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）【详解】（1）由题意可得直线的普通方程为﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分对于曲线C，因为，所以，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分所以曲线的普通方程为.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分（2）直线的参数方程的标准形式为，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍6分将其代入曲线的方程得，所以，，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分可知.﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分选修4-5：不等式选讲23．（10分）【详解】（1）当时，，解，即，解得；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍1分当时，，解，即，解得，无解；﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍2分当时，，解，即，解得.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍3分综上所述，不等式的解集为.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分（2）由（1）可知，.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍5分当时，；当时，；当时，，所以函数的最小值为2，所以，所以.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分由柯西不等式可得，，﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍8分当且仅当时，等号成立.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分所以，所以.﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍10分