2025 4 1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效. ： 8 5 40 ．1．已知集合Axxx {20}2，Bxyx {ln}，则AB A．(0,2]B．(0,2)C．[ 1,2]D．(0,1]2．已知i为虚数单位，复数za 24(a2)i（a R）是纯虚数，则a A．2或 2B．2C．0D． 2 3．已知向量a (1,1)，b (1,1)，则向量ab 在向量b上的投影向量为A．(1,1)B．(1,1) C．(0,1)D．(0,0)7274．若(1 xaaxaxax)012 7，则aaa246 A．31B．32C．63D．64 5．“sin2 0”是“tan 1”的2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要6．正方体ABCD A111BCD1中，点MN,分别为正方形ABCD1111及ABB11A的中心，则异面直线BD与MN所成角的余弦值为313A．0B．C．D．42247．在 ABC中，角ABC,,所对的边分别为abc,,.已知ABC,,成等差数列，ac,,b成等比3数列，则cosA 1133A．B．C．D．4232高三数学试题卷第页共页学科网（北京）股份有限公司148．过抛物线C:yx2 4焦点F的直线与抛物线交于AB,两点，过点A作C的切线l，交x轴于点M，过点B作直线l的平行线交x轴于点N，则FM 4FN的最小值是A．12B．10C．9D．8 ： 3 6 18 6 0 9．已知函数fx() sinxcosx，则 A fx() 2B fx()在(0,)上单调递增2 C fxfx()() D fx()在[0, ]上有两个零点210．若函数fx()与函数gx()的图象关于直线xy 10对称，则函数fx()的解析式可能是eexx A．fx() 3x2B．fx() 2C．fx() ex2xD．fx() ln(x1x2)x11．如图，多面体PABCQ由正四面体PABC 和正四面体QABC 拼接而成，一只蚂蚁从顶点P出发，沿着多面体的各条棱爬行，每次等概率地爬行到相邻顶点中的一个，记n次P爬行后，该蚂蚁落在点P的概率为pn，落在点Q的概率为qn，则1A．p B．pq 2434AC1C．pq D．p nn21n 6B第11题图Q ： 3 5 15 .12．已知等差数列{}an的前n项和为Sn，a1 2，a10 20，则S10 ．x213．已知斜率大于零的直线l交椭圆 : y21于AB,两点，交xy,轴分别于CD,两点，4且CD,是线段AB的三等分点，则直线l的斜率为 ．14．若定义在R上的函数fx()满足fx(1)12()() fx fx 2，则ff(2025) 2(0)的最大值是 ．高三数学试题卷第页共页学科网（北京）股份有限公司24 5 77 15．（本题满分13分）如图，在直角梯形ABCD中，AD BC，AB AD，BD DC．将 ABD沿BD折起，使AB AC，连接AC，得到三棱锥ABCD ．（1）求证：CD 平面ABD；（2）点E是BC的中点,连接AE、DE，若AB AD2，（i）求二面角BADE 的正切值；（ii）求三棱锥ABCD 的外接球体积．AADDBECBEC第15题图16．（本题满分15分）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在AB,两点进行投篮，共投两次.第一次投篮点可在AB,两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点.在A点投中得2分，在B点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立.（1）在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下22 列联表：得分 3分得分 3分合计先在A点投篮20525先在B点投篮101525合计302050是否有99%的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？（2）小明在A点投中的概率为0.7，在B点投中的概率为0.3.（i）求小明第一次投中的概率；（ii）记小明投篮总得分为X，求X的分布列及数学期望.n()ad bc2参考公式： 2 ()()()()abcdacbd 0.10.050.010.001x 2.7063.8416.63510.828高三数学试题卷第页共页学科网（北京）股份有限公司3417．（本题满分15分）xy22已知双曲线E: 1（ab 0,0）的左，右焦点分别为FF,，且FF 22，ab221212圆(2)1xy 22与E的渐近线相切.（1）求双曲线E的标准方程； 4（2）若E上两点AB,满足FB FA（ 1），且四边形AFFB的面积为7，求 21123的值.18．（本题满分17分）已知函数fx() exa （a R），O为坐标原点.（1）当a 1时，（i）求曲线yfx ()在点(1,(1)) f处的切线方程；（ii）若点P是函数fx()图象上一点，求OP的最小值；（2）若函数fx()图象上存在不同两点AB,满足OA OB1a，求a的取值范围.19．（本题满分17分）对于给定的n项整数数列An：aa12,,, an（n 3），定义变换Hi()：①若i 1，则a1加2，aan,2均加1，其余项不变；②若1 in，则ai加2，aaii 11,均加1，其余项不变；③若in ，则an加2，aan 11,均加1，其余项不变.例如，对数列： 1,0,1做变换H(1)得到1,1,2，即 1,0,1变换H(1)1,1,2；而对数列：2,5,7,3先后做变换H(3)，H(4)可得到3,6,10,6，即2,5,7,3 变换H(3)2,6,9,4 变换H(4)3,6,10,6.（1）找出一系列变换，使得数列：1,2,3经过这系列变换后成为常数列；（2）是否能找出一系列变换，使得数列： 1,1,0,2,2经过这系列变换后成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由；并请判断当n为奇数时，对于任意数列An，是否总存在一系列变换能使该数列成为常数列（无须证明）.（3）当n为偶数且数列An是递增数列时，是否存在一系列变换，使得该数列成为常数列，若存在，请给出具体的变换；若不存在，请说明理由.高三数学试题卷第页共页学科网（北京）股份有限公司44 2025 4 8 5 40 . .题号12345678答案ADBCBCDC 3 6 18 . . 6 0 .题号91011答案ACABDACD11.解析：设记n次爬行后，该蚂蚁落在点ABC或或的概率为rn， 1p r n 14n 1111则 rn 1 pn rn qn，其中p1 0,r1 1,q1 0，计算易得p2 ,r2 ,q2 ， 2424 1 qn 1 rn 4131311p ,r ,q ，q ，故A、C正确，B错误.由原方程组可得r r r，383438416n 22n 12n1111则r r r r，所以{r r}为常数列，且r r 1 .n 22n 1n 12nn 12nn 12n111同理r r (r r)，且r r ，所以r r ( )n ，n 2n 12n 1n212n 1n222111111由 可知，r= ( )n，所以pr ，故D正确，n33221nn 466462n综上所述，选ACD. 3 5 15 112.11013.14.35 214 1 f(x) 2 [(fx 1)1][()1]122 fx [fx( 2)1]22 [fx( 1)1]1 [fx( 2)1]22 [fx() 1] fx( 2)1fx() 1 2 f(x) f(2025) f(1). [ff(0) 1]22[(1) 1]1 f(0) 1 cos ,f(1) 1 sin , [0，] 2ff(2025) 2(0)35sin( ),tan 2 ff(1) 2(0) 35 .学科网（北京）股份有限公司 5 77 15.（1）因为AB AC，AB AD，AD AC A，所以AB 平面ACD又CD 平面ACD，所以AB CD………………………………………………3分又因为BD CD，BD AB B，所以CD 平面ABD.………………………5分（i）解法一：以D为坐标原点，以DB，DC，Dz所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则A(1,0,1)，E(1,1,0)，所以DA (1,0,1)， DE (1,1,0)，设平面ADE的一个法向量为nxyz ,, ，则 nDAx z0 ，取x 1，则n 1,1,1 .………………………7分 nDEx y0 nm 3由（1）可知，平面ABD的一个法向量为m 0,1,0 ，所以cosnm,| .nm33由图可知二面角BADE 平面角是锐角，记为 ，则cos ，所以tan 2，故3二面角BADE 的正切值为2………………………………………………………10分解法二：如图，取AD中点H，BD中点I，连接IE，IH，则IH AD，IE//DC.由（i）易得IE 平面ABD，则IE AD，又IE IH I，所以AD 平面IHE，所以AD HE.由二面角定义可知 IHE即二面角BADE 的平面角………………7分2在直角三角形IHE中，|IH| ,|IE| 1,所以tan IHE 2，2所以二面角BADE 的正切值为2…………………………10分 （ii）因为 BAC BDC ，所以E为三棱锥ABCD 的外接球的球心，且球半径为2822，故三棱锥ABCD 的外接球体积为 ……………………………………13分316.（1）零假设为H0：得分与第一投篮点选择独立，即得分无差异学科网（北京）股份有限公司2250(300 50)25 6.635…………………………………………4分25 2530203根据小概率值 0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，因此认为得分与第一投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01……………………………………………5分（2）设第1次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件B，投中记为事件E，则11PA() ，PB() ,PEA() 0.7,PEB() 0.3.221（i）P(E)=PEA()()()()() EBPA PEA PB PEB 2所以小明第一次投篮命中的概率为0.5.…………………………………………………9分（ii）小明投篮总得分X可取0，2，3，4，6，则2173499PX( 0)，PX( 2)，PX(3) ，PX( 4)，PX( 6).1002020200
浙江省衢州、丽水、湖州三地市二模2025年4月高三教学质量检测数学+答案
2025-04-16
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