专题01 子集、交集、并集、补集之间的关系式（解析版）

专题01子集、交集、并集、补集之间的关系式一、结论1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：ABABAABBACIBCIABI(其中I为全集)（1）当AB时，显然成立（2）当AB时，venn图如图所示，结论正确.2、子集个数问题：若一个集合A含有n（nN）个元素，则集合A的子集有2n个，非空子集有2n1个.真子集有2n1个，非空真子集有2n2个.理解：A的子集有2n个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则n个元素共有2n种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.二、典型例题（高考真题+高考模拟）例题1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）设集合MxZ∣x21002x，则M的所有子集的个数为（）A．3B．4C．8D．16【答案】C【详解】解：解不等式x2100得10x10，x解不等式1002得xlog2100，67由于log22log2100log22,∣2x∣所以，MxZx1002xZlog2100x107,8,9，所以，M的所有子集的个数为238个.故选：C【反思】本题考查子集的概念，不等式.本题在求集合个数时，先求出集合M中的元素个数，再根据集合元素的个数利用公式子集的个数为2n个得到结论.log(3x)例题2．（2022·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知函数f(x)4的定义域为2x4集合A，关于x的不等式ax2a10a0的解集为B．(1)当a1时，求ðRAB；(2)若xB是xðRA的充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)ðRABxx1或x3.1(2)1,00,4log(3x)3x0（1）解：要使函数f(x)4有意义，则，解得2x3，2x42x40所以Ax2x3，所以ðRAx|x2或x3，当a1时，Bxx1，所以ðRABxx1或x3．（2）解：由（1）得Ax2x3，ðRAx|x2或x3因为xB是xðRA的充分条件，则BðRA，111①当a0时，Bx|x2ðRA，则22，所以0a；aa411②当a<0时，Bx|x2ðRA，则23，所以1a0；aa1综上所述，实数a的取值范围是1,00,．4【反思】对于本例第1问，可以通过借助数轴，画出对应范围，结合图形求交集，并集，补集，注意端点处是实心还是对应空心.对于本例第2问,由于集合B表示ax2a10a0的解集，需要讨论①a0，②a0，再结合数轴求解.例题3．（2022·江西·校联考模拟预测）设全集UR，集合Ax2x29x40，Bx2axa.(1)当a2时，求CUAB；(2)若ABA，求实数a的取值范围.【答案】(1),04,(2)4,21(1)解：当a2时，Bx0x2，Ax2x9x40xx42x10xx42所以AB0,4又全集UR所以CUAB,04,1(2)解：由（1）知，Axx4，Bx2axa2由ABA可得：AB，则2aa12a，解得：a42a4所以实数a的取值范围为：a4,【反思】对于本例第2问，由ABAAB，利用数轴得到变量的取值范围.例题4．（2022·山东济宁·统考模拟预测）已知集合A{x∣axa3}，B{x∣x2或x6}.（1）若AB，求a的取值范围；（2）若ABB，求a的取值范围.【答案】（1）2a3；（2）a5或a6.【详解】（1）因为集合A{x∣axa3}，B{x∣x2或x6}，且AB，a2所以，解得2a3；a36（2）因为ABB，所以AB，因为aa3恒成立，所以A，所以a32或a6，解得a5或a6.【反思】本例第2问中，ABBAB，解题时注意讨论①A，②A.再借助数轴解题.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023·广东深圳·统考一模）满足等式0,1XxRx3x的集合X共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【详解】解：方程x3x的实数根有x0,x1,x1，解集构成的集合为0,1,1，即0,1X0,1,1，则符合该等式的集合X为X1，X0,1，X0,1，X0,1,1，故这样的集合X共有4个.故选：D.122．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）已知集合Ax1,Bxx2x30，则AB（）xA．x1x3B．x1x3或1x0C．x1x0D．x1x3或1x0【答案】D12【详解】集合Ax1xx0或x1,Bxx2x30x1x3.x所以ABx1x3或1x0.故选：D3．（2023·全国·模拟预测）集合Mx|x24x30,xR，Nx|ax10,xZ，若集合MN只有一个子集，则a（）11A．1,B．,C．,D．,133【答案】C【详解】由Mx|x24x30,xR得Mx|1x3，又Nx|ax10,xZ且集合MN只有一个子集，则MN.当a0时，集合N，则满足MN，满足题意；1当a0时，集合Nx|ax10,xZx|x,xZ，则满足MN，满足题意；a111当a0时，集合Nx|ax10,xZx|x,xZ，若满足MN，则3，0a.aa31综上，则有a.3故选：C4．（2023·湖南·模拟预测）已知集合Axa2xa3,Bx(x1)(x4)0，若ABR，则a的取值范围是（）A．,1B．1,3C．1,3D．3,【答案】B【详解】因为Bxx1x40xx1或x4，Axa2xa3又ABR，a21所以只需，解得1a3，a34故选：B.5．（2023·甘肃·模拟预测）已知全集UR，集合M{x|2x3}，N{x|x2或x4}，那么集合CUMCUN等于A．{x|3x4}B．{x|x3或x4}C．{x|3x4}D．{x|1x3}【答案】A【详解】∵CUM{x|x2或x3}，CUN{x|2x4}，∴CUMCUN{x|3x4}．故选A．6．（2022·湖南·校联考模拟预测）已知非空集合A{x|fxa},B{x|ffxa},aR，其中fxx23x3，若满足BA，则a的取值范围为（）2113A．3,B．,13,C．,D．,164【答案】A【详解】Ax|x23x3a，2因为A非空，故可设Ax|x1xx2，则x1,x2为方程x3x3a0的两个实数根.设gxx23x3a，又Bx|x1fxx2x|x1xx2，943a03因为BA，故x2a，所以a，解得a3.22a3a3a0故选：A.7．（2022·陕西·统考模拟预测）已知集合A={x|x2-3x-4=0}，Bx|axa2，若AB，则实数a的取值范围是（）A．,1B．4,C．,12,4D．1,24,【答案】D【详解】解：由题知Ax|x23x401,4，因为AB，2所以，当Bx|axa时，aa2，解得0a1，a24a4Bx|axa2a1当时，或2，解得a1,01,24,，2aaaa综上，实数a的取值范围是1,24,.故选：D8．（2022·江苏南京·南京市第一中学校考三模）非空集合A{xN|0x3}，2B{yN|ymy10,mR}，ABAB，则实数m的取值范围为（）5101710517A．,B．0,C．2,D．,234324【答案】A【详解】解：由题知A{xN|0x3}1,2，因为ABAB，所以AB，所以B{yN|y2my10,mR}1,2，故令函数fxx2mx1，所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：f30103m0510f20，即52m0，解得m，23f102m0510所以，实数m的取值范围为,.23故选：A239．（2022·山西朔州·统考三模）已知集合AxZx3，Bxaxa，若AB有2个元素，2则实数a的取值范围是（）33331A．,1B．,0C．,01,D．,1,022222【答案】D23【详解】解：因为AxZx31,0,1，Bxaxa，2a11a031若AB有2个元素，则3或3，解得a1或a0，0a1a1222231所以，实数a的取值范围是,1,0.22故选：D．10．（2022·江苏盐城·江苏省滨海中学校考模拟预测）已知集合A=2,2，B=xx2ax40，若ABA，则实数a满足（）A．a4a4B．a2a2C．4,4D．a4a4【答案】D【详解】因为ABA，所以BA，当B时，a2160，即4a4，满足题意；当B时，若a2160，则a4或4，当a4时，B2，满足题意；当a4时，B2，满足题意；若a2160，则-2,2是方程x2ax40的两根，显然2244，故不合题意，综上：实数a满足a4a4.故选：D11．（2022·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知集合Ax∣x23x20，B{x∣0x6,xN}，则满足条件A￿CB的集合C的个数为（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【详解】因为Ax∣x23x20{1,2}，B{x∣0x6,xN}{1,2,3,4,5},且A￿CB所以集合C的个数为2317故选：C212．（2022·陕西渭南·统考一模）已知集合A{x|xx120},B{x|2m1xm1}.且ABB，则实数m的取值范围为()A．[-1，2)B．[-1，3]C．[-2，+∞)D．[-1，+∞)【答案】D【详解】由x2x120,得3x4.即A[3,4].由ABB,即BA.当B时，满足条件,则2m1m1解得m2.m12m1当B时，要使得BA，则2m13.m14解得：1m2.综上满足条件的m的范围是：m1.故选：D.二、填空题