专题09 与等差数列相关的结论（解析版）

专题10与等差数列相关的结论一、结论设Sn为等差数列{an}的前n项和.(1)ana1(n1)d;anam(nm)d(2)pqmnapaqaman(m,n,p,qN)(3)pq2mapaq2am(m,p,qN);(4)Sm,S2mSm,S3mS2m,S4mS3m构成等差数列.SddS(5)nn(a)是关于n的一次函数或常数函数，数列{n}也是等差数列.n212nn(aa)n(n1)d(6)S1nnan212(7)若等差数列{an}的项数为偶数2m,公差为d,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项S偶am1之和S2mm(amam1),S偶S奇=md,=.S奇am(8)若等差数列{an}的项数为奇数2m1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之和S奇mS2m1(2m1)am,S奇mam,S偶(m1)am,S奇S偶=am,.S偶m1anS2n1(9)在等差数列{an}，{bn}中，它们的前n项和分别记为Sn,Tn则.bnT2n1二、典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）等差数列an的前n项和Sn，若Sn1,S3nSn5，则S4n（）A．10B．20C．30D．15【答案】A【详解】由等差数列an有Sn,S2nSn,S3nS2n,S4nS3n成等差数列，设为d，则S3nSnS3nS2nS2nSnSn2dSnd2Sn3d5d1，故S4nS4nS3nS3nS2nS2nSnSn4Sn6d10.故选：A【另解】设S2nx，S3ny，S4nz，由题意知Sn1,S3nSn5，即：y15y6又an是等差数列，则：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n也是等差数列，如下表：SnS2nSnS3nS2nS4nS3n1x1yx6xzyz6由Sn，S2nSn，S3nS2n，成等差数列，得到2(x1)1yx，将y6，代入，得到x3，则上表转化为：SnS2nSnS3nS2nS4nS3n1x12yx6x3zyz6这样，观察得到规律公差为1，则z64z102【反思】等差数列中依次m项之和Sm，S2mSm，S3mS2m，S4mS3m,…组成公差为md的等差数列,此结论可以直接用语计算，但是在使用公式时注意避免公式使用错误.例题2．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学校考期末）已知数列an为等差数列，若a23a80，a6a70，且数列an的前n项和有最大值，那么Sn取得最小正值时n为（）A．11B．12C．7D．6【答案】A【详解】因为等差数列的前n项和有最大值，故可得d0，11因为a3a0，故可得4a22d0，即ad0，2811211所以ad0，可得ad0，7272又因为a6a70，故可得a60，所以数列an的前6项和有最大值，且a6a72a111d0，aa11又因为S121126aa0，Saa11a0，122671121116故Sn取得最小正值时n等于11.故选：A.【另解】由a23a80a2a82a80，即2a52a80a5a80，进一步利用等差数列角标和性质，得到a6a70，结合题意a6a70，则a6和a7一正一负，又因为数列an的前n项和有最大值，所a1a11a1a12以a0，a0，这样S1111a0，S126aa0，所以Sn取得最小正67112612267值时n等于11.【反思】充分利用pqmnapaqaman(m,n,p,qN)和pq2mapaq2am(m,p,qN)，推出等差数列的正负项（或者单调性），从而确定数列an中有最大（小）值，再根据等差数列前n项和公式求解.例题3．（2023春·山西忻州·高二河曲县中学校校考开学考试）设等差数列an,bn的前n项和分别为Snn1a10Sn,Tn，若,则（）Tn2n6b10561121A．B．C．D．11112646【答案】A【详解】根据等差数列的性质,a2aaaS1915101011919,选项A正确.b102b10b1b19T19219611故选:A.anS2n1【反思】在等差数列{an}，{bn}中，它们的前n项和分别记为Sn,Tn则,注意此公式使用的前提：bnT2n1aaaan中分子分母角标一致，比如：5，11.但如果是11这类分子分母角标不一致，不能直接使用该公式,bnb5b11b7需另寻它法.例题4．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列an与等差数列bn的前n项和分别为Sn，Tn.若对于S2n1a任意的正整数n都有n，则8（）Tn3n1b935313135A．B．C．D．52504846【答案】B【详解】设Sn2n1nt，Tn3n1nt，t0.则a8S8S7136t105t31t，a831b9T9T8234t184t50t，所以.b950故选：B.a8【反思】本例与例题3对比，求解目标，发现角标不一致，这样不能直接使用结论，但是由于an和bnb9S2n1n都是等差数列，且，则可以把Sn，Tn表达式求出（若数列an是等差数列，则前n项和Sn可以Tn3n12表达为SnAnBn，其中A,B不同时为0），这样就可以设Sn2n1nt，Tn3n1nt，再利用a8S8S7136t105t31t，b9T9T8234t184t50t再求比值.例题5．（2023·全国·高二专题练习）一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为________.【答案】3【详解】解:由题知不妨设等差数列为an,首项为a1,公差为d,项数为2n,nZ,n(aa)故有S22nna84,偶2n1n(aa)S12n1na51,奇2n两式相减S偶S奇nan1nannd33,因为a2na1(2n1)d63,nd11故,(2n1)d21故n11,d3.故答案为:3【反思】①等差数列{an}的项数为奇数2m1,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则所有项之S奇m和S2m1(2m1)am,S奇mam,S偶(m1)am,S奇S偶=am,.S偶m1n(aa)n(aa)②等差数列{a}的项数为偶数2n，S22nna，S12n1na，n偶2n1奇2nS偶S奇nan1nannd；再结合题意求解.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023秋·广东江门·高二统考期末）已知an为等差数列，a1a3a545，a2a4a633，则S10等于（）A．250B．410C．50D．62【答案】C【详解】an为等差数列，a1a3a545，a2a4a633，a1a3a53a345，a2+a4+a6=3a4=33，a315，a411，公差da4a34，a1a32d15823，S1010a145d23045450．故选：C2．（2023秋·山西运城·高二统考期末）公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，若S2023S2021S2022，则下列选项正确的是（）A．d0B．an0时，n的最大值为2022C．Sn有最大值D．Sn0时，n的最大值为4044【答案】B【详解】因为S2023S2021S2022，即S2021S2022a20220，S2023S2022a20230即da2023a20220，故A错误；因为d0，且a20220，a20230，故an0时，n的最大值为2022，故B正确；因为d0，且a20220，a20230，所以Sn没有最大值，有最小值即S2022，故CD错误.故选:B3．（2023·高二课时练习）等差数列an的前n项和为Sn，若S7S8S6，则下列结论：①a70；②a80；③S130；④S140，其中正确结论是（）A．②③B．①③C．①④D．②④【答案】A【详解】解：因为S7S6S6a7S6a70，知①错误；由已知条件S7S8S7S7a8a80，可知②正确；13aa由S11313a0，知③正确；132714a8a7)由S8S6S6a7a8S6a8a70，故S0，知④错误．142故选：A.4．（2023秋·河南周口·高二项城市第一高级中学校考期末）设等差数列an的前n项和为Sn，若S316，S68，则S12（）A．50B．60C．70D．80【答案】D【详解】解：由等差数列的性质可知，S3、S6S3、S9S6、S12S9成等差数列，且该数列的公差为S6S3S381624，则S9S6S6S32432，所以，S12S9S9S62456，因此，S12S3S6S3S9S6S12S980.故选：D.5．（2023秋·湖北黄冈·高二湖北省红安县第一中学校考期末）两个等差数列an和bn，其前n项和分别Sn3n2a2a20为Sn，Tn，且，则等于（）Tnn3b7b1592565149A．B．C．D．4242424【答案】C21aaaaaa121S321265【详解】解：由等差数列的性质可得，220121221．bbbb21T21324715121bb212121故选：C．Snn6．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列an与等差数列bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，Tnn1a那么8的值为（）b713141516A．B．C．D．12131415【答案】C【详解】设等差数列an,bn的公差分别为d1和d2.SnSa11n,11,即a1b1Tnn1T1b122S22a1d12,即b13d12d2①T22b1d23S33a13d13,即b14d13d2②T33b13d24由①②解得d1d2,b1d1.1d7daa7d11158112b7b16d2d16d114故选：C二、多选题a97．（2023秋·浙江宁波·高二统考期末）已知等差数列an，其前n项和为Sn，若S150,1，则下列结a8论正确的是（）A．a9a8B．使Sn0的n的最大值为16C．公差d0D．当n8时Sn最大【答案】ACD15【详解】等差数列a，S(aa)15a0,a0，n15211588a9又1a9a80,a8a90，a8a9a8，A正确.da9a82a80,C正确.1616aa0S(aa)(aa)0,S0,8916211628915使Sn0的n的最大值为15.B错误.n8,a0,n9,a0a80,a90当nn,所以当n8时Sn最大.D正确.故选：ACD*8．（2023秋·山东烟台·高二统考期末）已知等差数列an的前n项和为SnnN，若a10,S4S12，则（）A．公差d0B．a7a90C．Sn的最大值为S8D．满足Sn0的n的最小值为16【答案】AC【详解】因为a10,S4S12，4a1a412a1a12则，即a1a43a1a12，222则da0，故A正确；151a7a