专题04 指数函数与对数函数互为反函数（解析版）

专题04指数函数与对数函数互为反函数一、结论若函数yf(x)是定义在非空数集D上的单调函数，则存在反函数yf1(x).特别地，yax与ylogax（a0且a1）互为反函数.yx在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于对称，即(x0,f(x0))与(f(x0),x0)分别在函数yf(x)与反函数yf1(x)的图象上.1若方程xf(x)k的根为x1，方程xf(x)k的根为x2，那么x1x2k.二、典型例题x例题1．（2022·高三课时练习）若关于x的方程xlog5x4与x54的根分别为m、n，则mn的值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】Bxx【详解】解：由题意，可知log5xx4，5x4，作出函数ylog5x，y5，yx4的图像（如图），yx,A、B两点的横坐标分别为m、n，且A、B关于直线yx对称，AB的中点为C，联立可得点Cyx4,的横坐标为2，因此mn4．故选：C.1【反思】本题也可直接利用结论解题：若方程xf(x)k的根为x1，方程xf(x)k的根为x2，那x1x么x1x2k.在本例中，记f(x)log5，则f(x)5，这样利用结论，可快速得到：mn4。x例题2．（2022春·河南新乡·高二封丘一中校考期末）已知x1是方程x34的根，x2是方程xlog3x4的根，则x1x2（）A．16B．8C．6D．4【答案】D44【详解】方程x3x4可变形为3x，方程xlogx4可变形为logx，x33x44所以，x是y3x与y的图象的交点横坐标，x是ylogx与y的图象的交点横坐标，1x23xx因为y3与ylog3x互为反函数，这两个函数的图象关于直线yx对称，4在函数y图象上任取一点a,b，该点关于直线yx的对称点的坐标为b,a，x444由b可得a，则点b,a也在函数y的图象上，abx4故函数y的图象关于直线yx对称，x444所以，点x,与点x,关于直线yx对称，所以x1，故xx4.12x12x1x22故选：D.【反思】本题主要考查反函数的性质，a,b在yf(x)上，则b,a在yf1(x)上，结合图形的对称性，从而得到结论x1x24.三、针对训练举一反三一、单选题x1．（2023·全国·高三专题练习）若x1满足25x，x2满足xlog2x5，则x1x2等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】Dx1【详解】由题意5x12，故有5x2log2x2x故x1和x2是直线y5x和曲线y2、曲线ylog2x交点的横坐标.x根据函数y2和函数ylog2x互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，x故曲线y2和曲线ylog2x的图象交点关于直线yx对称.即点（x1，5﹣x1）和点（x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y=x上，xx5x5x即1212，求得x+x=5，2212故选：D.x2．（2022·陕西咸阳·校考模拟预测）已知x1是函数fx2x2的零点，x2是函数gxlog2x1x3的零点，则x1x2的值为（）A．17B．5C．12D．3【答案】Dx1x1【详解】由已知可得fx12x120，所以，22x1，x所以，x1为直线y2x与曲线y2的交点的横坐标，gx2log2x21x230，则log2x212x21，则x21为直线y2x与曲线ylog2x的交点的横坐标，如下图所示：yxxyx函数ylog2x与y2的图象关于直线对称，联立，可得xy1，y2x所以，直线yx与直线y2x交于点C1,1，由图象可知，点A、B关于点C对称，所以，x1x212，可得x1x23.故选：D.3．（2020秋·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）若a1，设函数f(x)axx4的零点为m，11g(x)logaxx4零点为n，则的取值范围是（）mn79A．,B．,C．1,D．4,22【答案】Cxx【详解】ax40a4x，logaxx40logax4x，m,nx可以看作是直线y4x与函数ya和ylogax交点的横坐标，作出图象，如图，xyxyxylogax与ya互为反函数，图象关于直线对称，而直线y4x与直线垂直，因此直线xyxy4x与ya和ylogax图象交点P,Q也关于直线对称，所以mn4，由图象知0m2,2n4．11mn4y，mnmnm(4m)又ym(4m)m24m(m2)24，0m2，所以0m(4m)4，41，m(4m)所以所求范围是1,．故选：C．4．（2023·全国·高三专题练习）已知a是方程xlgx3的解，b是方程2x100x3的解，则（）3A．ab2B．ab2323C．a2b3D．a2b2【答案】C【详解】在2x100x3中，令t2x，则有t10t3，因为ylgx与y10x互为反函数，图象关于yx对称.依题意可知a，t就是直线y3x与曲线ylgx，y10x交点的横坐标，at3所以，所以at3，即a2b3.22故选：C.5．（2020秋·高一课时练习）关于x的方程xlgx3，x10x3的根分别为，，则的值为（）．A．3B．4C．5D．6【答案】A【详解】lgx3x，10x3x．作出ylgx，y10x和y3x的图象如图所示．A，B两点的横坐标分别是，，点A，B关于直线yx对称，∴A，B两点的中点是C．联立yx和y3x，33求得C点的横坐标为，∴23．22故选：Ax136．（2022·全国·高三专题练习）设m,n分别是方程e和xelogx4(a1)的根，则的xa4am143n最小值是（）13128A．B．C．221D．211913【答案】Bx【详解】方程和xelogx4(a1)可化为：xae4ax1eexa(a)4x,log1x4x，ae1ylogx即方程的根分别为函数ex，1图象与y4x的交点的横坐标，y(a)ae1ylogx因为ex，1互为反函数，y(a)ae1ylogx所以ex，1的图象关于直线yx对称，y(a)ae因为直线y4x与直线yx垂直且交点为(2,2)所以mn4，所以3m33n419，1333133故[(3m3)(43n)]()m143n3m343n193m343n13(43n)3(3m3)112(6）(629)，193m343n19191311当且仅当3m343n，即m,n时，等号成立，66故选：Bx7．（2017秋·山西太原·高一山西实验中学校考期中）若x1满足x24,x2满足xlog2x4,则x1x2（）57A．B．3C．D．422【答案】Dxx【详解】由题x1满足24x,x2满足log2x4x.故画出y4x与ylog2x和y2的图像可知,因为xylog2x和y2关于yx对称,且yx与y4x交于2,2.故x1x2224.故选：D8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高一牡丹江市第三高级中学校考期末）已知三个函数fx2xx2，3gxx8，hxlog2xx2的零点依次为a、b、c，则abcA．6B．5C．4D．3【答案】Cx【详解】令fx0，得出22x，令hx0，得出log2x2x，x则函数y2x与函数y2、ylog2x交点的横坐标分别为a、c.x函数y2与ylog2x的图象关于直线yx对称，且直线yx与直线y2x垂直，如下图所示：yx联立，得xy1，则点A1,1，y2xx由图象可知，直线y2x与函数y2、ylog2x的交点关于点A对称，则ac2，由题意得gbb380，解得b2，因此，abc4.故选：C.x9．（2020·高一课时练习）若x1是方程xe4的解，x2是方程xlnx4的解，则x1x2等于（）A．4B．2C．eD．1【答案】A4【详解】因为x是方程xex4的解，所以x是函数yex与y交点P的横坐标；11x4又x是方程xlnx4的解，所以x是函数ylnx与y交点Q的横坐标；22x因为函数yex与ylnx互为反函数，所以函数yex与ylnx图像关于直线yx对称，4又y的图像关于直线yx对称，xx1y2因此，P，Q两点关于直线yx对称，所以有，x2y1因此x1x2x1y14.故选：A二、填空题x10．（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）设方程2x1x60的解为x，方程logx60的解为x，1222则x1x2___________．【答案】6xx【详解】由方程2x1x60得2x16x，由方程logx60得log6x.2222x由于fx2x1与gxlog互为反函数，图像关于yx对称.22x如图示，2x16x的根为点A的横坐标，log6x的根为点B的横坐标，22x因为fx2x1与gxlog图像关于yx对称，且yx与y6x垂直，所以22A,B两点为yx与y6x的交点，且关于yx对称.yx由解得：x3，则x1x26．y6x故答案为：6．11．（2022春·湖南·高一校联考阶段练习）已知函数fxexxπ，gxxlnxπ，若fx1gx2aa1a0,a1，则x1x2________.【答案】πfx1gx2x1x1【详解】aa1a0,a1，则fx1ex1π0，得：eπx1；令gx2x2lnx2π0，得：lnx2πx2；xyπx所以x1，x2分别为ye和ylnx与的图像交点的横坐标，如图所示：因为yex和ylnx互为反函数，所以yex和ylnx的图像关于yx对称，所以A、B两点关于yx对yπx称.又A、B两点均在的图像上，所以x1πx2，所以x1x2π.故答案为：πa12．（2021秋·陕西安康·高一统考期中）若实数a、b满足22a，log2b13b，则ab____________．【答案】3【详解】因为2a2a，则a可视为直线y2x与函数y2x的图象交点A的横坐标，因为log2b13b2b1，则b1可视为直线y2x与函数ylog2x的图象交点B的横坐标，如下图所示：yx联立，解得xy1，则直线yx与直线y2x交于点M1,1，y2x易知直线yx与直线y2x垂直，x因为函数ylog2x与函数y2的图象关于直线yx对称，则A、B两点关于直线yx对称，线段AB的中点为M，所以，ab12，解得ab3.故答案为：3.x13．（2022·上海·高一专题练习）设方程xlog2x2的解为x1，x22的解为x2，则x1x2_____________.【答案】2.【详解】由xlog2x2的解为x1，得log2x1x12，xx2同理x22的解为x2，得2x22，x又函数ylog2x与函数y2互为反函数，图象关于直线yx对称，且yx2与yx互相垂直，且交点为(1,1)，x则函数ylog2x与函数yx2的交点A(x1,y1)，函数