专题06 经典（超越）不等式（解析版）

专题07经典（超越）不等式一、结论(1)对数形式:x1lnx(x0),当且仅当x1时,等号成立.(2)指数形式:exx1(xR),当且仅当x0时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx1x1lnx（x0且x1）上述两个经典不等式的原型是来自于泰勒级数：x2xnexex1xxn1；2!n!(n1)!x2x3xn1ln(1x)x(1)no(xn1)；23n1截取片段：exx1(xR)ln(1x)x(x1)，当且仅当x0时,等号成立；进而：lnxx1(x0)当且仅当x1时,等号成立二、典型例题32例题1．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知a,be5,cln5ln4，则（）5A．abcB．acbC．bacD．bca【答案】C【详解】f(x)ex1xf'(x)ex1，则x0,,f'(x)0,x,0,f'(x)0，故函数f(x)在,0单调递减，0,单调递增，则f(x)f(0)0则ex1x0，即ex1x32由ex1x，∴e5，故ba5同理可证ln(1x)x11又ln(1x)x，∴ln5ln4ln1，则bac44故选：C.【反思】对于指数形式:exx1(xR),当且仅当x0时,等号成立，该不等式是可以变形使用的：当x1x1exx替换xx11xex1(xR)ex1,即1xex1当x1ex1x注意使用时x的取值范围；同样的还可以如下处理：exx1(xR)两边同时取对数：xln(x1)(x1)，同样可以变形使用：xln(x1)(x1)x1替换xx1lnx(x0)左右两边同乘以“-1”1xlnx(x0)；11用“”替换“x”1x11xlnx(x0)1xln(x0)x1lnxlnxxxx注意使用时x的取值范围.另外，选择填空题中，涉及到超越不等式可以直接使用，但是注意，解答题中一定要先证后用.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)exx1.(1)证明：f(x)0；111(2)证明：(1)(1)(1)e．2222n【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【详解】（1）fxex1，令f¢(x)>0，得x0；令fx0，得x0，所以fx在,0上单调递减，在0,上单调递增，所fx的最小值为f00，所以f(x)0.（2）由（1）知，当x(0,)时，f(x)f(0)0，即exx10，即exx1，即xlnx1，111令x，得ln1nn，2n22111111ln111ln1ln1ln1所以2n2n222222111n11122111，2222n12n12111故1121ne．222【反思】注意在解答题中ex1x，x1lnx(x0)等超越不等式，及其变形式，不能直接使用，需要证明后才可以使用，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.三、针对训练举一反三一、单选题111111．（2023春·浙江·高三校联考开学考试）设a，btane2022，csine2023，则（）202220222023A．cbaB．c专题练习）已知aesin11,bsin1,ccos1，则（）A．acbB．abcC．cbaD．c0，得x0，所以fx在,0单调递减，在0,单调递增.所以fxf00，即exx10，当x0时取等号.所以aesin11sin111sin1b，所以cba.故选：C.5．（2023·全国·高三专题练习）已知ab11则下列不等式一定成立的是（）11A．b-a>bB．ababb1ebC．D．alnbblnaa1lna【答案】C【详解】取a10,b8，则b-ab+1，lnaa1，\>1>，即，lnaeba1lnaC选项正确.故选：C.6．（2023·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足acb2，且abclnab，则（）A．c0，fx单调递增，当x1,时，fx0，fx单调递减，fxf10，即lnxx1，所以lnabab1，所以abcab1，即c1，又acb20，所以a<0，由ab0，所以ba0，所以b2a2，即aca2，所以ca，所以c