专题02 交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)(解析版)

2023-11-27 · 6页 · 330.8 K

专题02交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)一、结论交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)(1)集合形式C(AB)(CA)(CB),C(AB)(CA)(CB)IIIIII(2)命题形式:(pq)(p)(q),(pq)(p)(q)二、典型例题(高考真题+高考模拟)x4例题1.(2023·全国·高三专题练习)已知集合Ax0,Bxyln3x,则ðRAðRBx2()A.2,3B.3,4C.,23,D.,34,【答案】C【详解】由题意得Ax2x4,Bxx3,AB2,3,ðRAðRB,23,,故选:C【反思】本题充分利用德摩根律ðRAðRBðR(AIB),解题时,可通过先求出AB2,3,再根据德摩根律,利用结论,可以快速选出答案.例题2.(2023春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考开学考试)已知p:x27x100,q:x24mx3m20,其中m0.(1)若m4且pq为真,求x的取值范围;(2)若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.5【答案】(1)4x5;(2)m23【详解】由x27x100,解得2x5,所以p:2x5,又x24mx3m20,且m0,解得mx3m,所以q:mx3m.(1)当m4时,q:4x12,因为pq为真,所以p,q都为真,所以4x5.(2)因为q是p的充分不必要条件,所以p是q的充分不必要条件,m25因为p:2x5,q:mx3m,所以3m5,解得m2.3m0【反思】本例中第2问,若q是p的充分不必要条件,等价变换为p是q的充分不必要条件,从而通过求出命题p:2x5,q:mx3m根据充分性和必要性条件,求出参数m的取值范围.三、针对训练举一反三一、单选题1.(2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末)设集合M{x0x4},Nx3x5,则ðRMðRN()A.{xx3或x4}B.{x3x4}C.{xx0或x5}D.{x0x5}【答案】C【详解】由已知得ðRM{x|x0或x4},ðRN{x|x3或x5},ðRMðRN{xx0或x5}.故选:C.2.(2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习)集合A,B,C是全集U的子集,且满足ABAC,则()A.ABACB.BCC.ðUABðUACD.AðUBAðUC【答案】C【详解】若CAB,如下图示,由图知:ABAC、BC、AðUBAðUC不成立,A、B、D排除;故选:C3.(2022·高一课时练习)设全集U,有以下四个关系式:甲:A∩B=A;乙:A∪B=B;丙:ðUBðUA;丁:(ðUA)(ðUB)ðUA.如果有且只有一个不成立,则该式是()A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】C【详解】由题意,甲:A∩B=AAB乙:A∪B=BAB丙:ðUBðUAðUAðUBBA丁:(ðUA)(ðUB)ðUAðUBðUAAB由于甲、乙、丁是等价的,故如果有且只有一个不成立,则该式是丙故选:C4.(2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测)设命题p:“x0”是“log2(x1)0”成立的必要不充分条件.命题q:1若不等式aexx恒成立,则a,.下列命题是真命题的()eA.(pq)B.pqC.pqD.pq【答案】B【详解】log2(x1)0,解得:1x0.因为1,0￿,0,所以“x0”是“log2(x1)0”成立的必要不充分条件.故p为真命题;x若不等式aexx恒成立,所以a.exx记fx,只需afx.exmax1x求导得:fx,令fx0,解得:x1,列表得:exx,111,fx+0-fx单增极大值单减1所以fxf1.maxe1所以a.故q为真命题.e对于A:(pq)为假命题.故A错误;对于B:pq为真命题.故B正确;对于C:pq为假命题.故C错误;对于D:pq为假命题.故D错误;故选:B二、多选题5.(2022秋·浙江·高一期中)已知集合A中含有6个元素,全集UAB中共有12个元素,ðUAðUB中有m个元素,已知m8,则集合B中元素个数可能为()A.2B.6C.8D.12【答案】BC【详解】解:因为ðUAðUBðUAB中有m个元素,所以AB中有12m个元素,设集合B中元素个数为x,又集合A中含有6个元素,则x612m12,即m18x,因为m8,所以x10,又UAB中共有12个元素,所以x6,则6≤x≤10,故选:BCSSSU6.(2022秋·湖南株洲·高一校考阶段练习)设U为全集S1,2是U的两个非空子集,且12,则下列结论错误的是()A.S1S2B.S1ðUS2C.ðUS1ðUS2D.ðUS1ðUS2U【答案】ABD【详解】由题S1,S2不为空集,所以S1S2,A错误,SS,SUSSUðS,当122时,满足12,但U2B错误,S1S2U,ðUS1ðUS2ðUS1S2ðUU,C正确,D错误,故选:ABD.7.(2022秋·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考阶段练习)设全集为U,在下列条件中,是BA的充要条件的有()A.ABAB.ðUABC.ðUAðUBD.AðUBU【答案】ABCD【详解】对于A,若ABA,则BA;反过来,若BA,则ABA,故互为充要条件,故正确;对于B,如下Venn图,若ðUAB,则BA,若BA,则ðUAB,故正确;选项C中,若ðUAðUB,则BA;反过来,若BA,则ðUAðUB,故互为充要条件,故正确;选项D中,若AðUBU,则ðUAðUB,故BA;反过来,若BA,则ðUAðUB,故AðUBU,故互为充要条件,故正确.故选:ABCD.三、解答题8.(2023春·四川泸州·高一四川省泸县第一中学校考开学考试)设全集U=R,集合A={x|2x-1≥1},B={x|x2-4x-5<0}.(Ⅰ)求A∩B,(∁UA)∪(∁UB);(Ⅱ)设集合C={x|m+1<x<2m-1},若B∩C=C,求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ){x|x<1或x≥5},(Ⅱ)(-∞,3].【详解】解:(Ⅰ)∵全集U=R,集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1},B={x|x2-4x-5<0}={x|-1<x<5}∴A∩B={x|1≤x<5},(CUA)∪(CUB)={x|x<1或x≥5}(Ⅱ)∵集合C={x|m+1<x<2m-1},B∩C=C,∴C⊆B,当C=∅时,2m1m1解得m2m1<2m1当C≠∅时,由C⊆B得m11,解得:2<m≤32m15综上所述:m的取值范围是(-∞,3]9.(2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习)已知集合Ax2a3x4a,Bx3x16.(1)若a2,求AB,ðRAðRB;(2)若ABA,求a的取值范围.【答案】(1)4,8,,48,5(2),.4【详解】(1)由题意得:B4,5;a2A1,8AB4,8,(ðRA)(ðRB)ðR(AB),48,.(2)ABAABA或A1当A时,2a34aa;21当A时,2a34aa;27a2a342515aa,4a55424a455则aa,.44

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