专题02 交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)（解析版）

专题02交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)一、结论交、并、补(且、或、非)之间的关系(德·摩根定律)(1)集合形式C(AB)(CA)(CB),C(AB)(CA)(CB)IIIIII(2)命题形式：(pq)(p)(q)，(pq)(p)(q)二、典型例题（高考真题+高考模拟）x4例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合Ax0，Bxyln3x，则ðRAðRBx2（）A．2,3B．3,4C．,23,D．,34,【答案】C【详解】由题意得Ax2x4,Bxx3，AB2,3，ðRAðRB,23,，故选:C【反思】本题充分利用德摩根律ðRAðRBðR(AIB),解题时，可通过先求出AB2,3，再根据德摩根律，利用结论，可以快速选出答案.例题2．（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考开学考试）已知p：x27x100，q：x24mx3m20，其中m0.（1）若m4且pq为真，求x的取值范围；（2）若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.5【答案】（1）4x5；（2）m23【详解】由x27x100，解得2x5，所以p：2x5，又x24mx3m20，且m0，解得mx3m，所以q：mx3m.（1）当m4时，q：4x12，因为pq为真，所以p,q都为真，所以4x5.（2）因为q是p的充分不必要条件，所以p是q的充分不必要条件，m25因为p：2x5，q：mx3m，所以3m5，解得m2.3m0【反思】本例中第2问，若q是p的充分不必要条件，等价变换为p是q的充分不必要条件，从而通过求出命题p：2x5，q：mx3m根据充分性和必要性条件，求出参数m的取值范围.三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）设集合M{x0x4}，Nx3x5，则ðRMðRN（）A．{xx3或x4}B．{x3x4}C．{xx0或x5}D．{x0x5}【答案】C【详解】由已知得ðRM{x|x0或x4}，ðRN{x|x3或x5}，ðRMðRN{xx0或x5}.故选：C.2．（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合A，B，C是全集U的子集，且满足ABAC，则（）A．ABACB．BCC．ðUABðUACD．AðUBAðUC【答案】C【详解】若CAB，如下图示，由图知：ABAC、BC、AðUBAðUC不成立，A、B、D排除；故选：C3．（2022·高一课时练习）设全集U，有以下四个关系式：甲：A∩B＝A；乙：A∪B＝B；丙：ðUBðUA；丁：(ðUA)(ðUB)ðUA．如果有且只有一个不成立，则该式是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】C【详解】由题意，甲：A∩B＝AAB乙：A∪B＝BAB丙：ðUBðUAðUAðUBBA丁：(ðUA)(ðUB)ðUAðUBðUAAB由于甲、乙、丁是等价的，故如果有且只有一个不成立，则该式是丙故选：C4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）设命题p：“x0”是“log2(x1)0”成立的必要不充分条件.命题q：1若不等式aexx恒成立，则a,．下列命题是真命题的（）eA．(pq)B．pqC．pqD．pq【答案】B【详解】log2(x1)0，解得：1x0.因为1,0￿,0，所以“x0”是“log2(x1)0”成立的必要不充分条件.故p为真命题；x若不等式aexx恒成立，所以a.exx记fx，只需afx.exmax1x求导得：fx，令fx0，解得：x1，列表得：exx,111,fx+0-fx单增极大值单减1所以fxf1.maxe1所以a.故q为真命题.e对于A：(pq)为假命题.故A错误；对于B：pq为真命题.故B正确；对于C：pq为假命题.故C错误；对于D：pq为假命题.故D错误；故选：B二、多选题5．（2022秋·浙江·高一期中）已知集合A中含有6个元素，全集UAB中共有12个元素，ðUAðUB中有m个元素，已知m8，则集合B中元素个数可能为（）A．2B．6C．8D．12【答案】BC【详解】解：因为ðUAðUBðUAB中有m个元素，所以AB中有12m个元素，设集合B中元素个数为x，又集合A中含有6个元素，则x612m12，即m18x，因为m8，所以x10，又UAB中共有12个元素，所以x6，则6≤x≤10，故选：BCSSSU6．（2022秋·湖南株洲·高一校考阶段练习）设U为全集S1，2是U的两个非空子集，且12，则下列结论错误的是（）A．S1S2B．S1ðUS2C．ðUS1ðUS2D．ðUS1ðUS2U【答案】ABD【详解】由题S1,S2不为空集，所以S1S2,A错误,SS,SUSSUðS,当122时,满足12,但U2B错误,S1S2U,ðUS1ðUS2ðUS1S2ðUU,C正确，D错误，故选：ABD.7．（2022秋·江西萍乡·高一江西省莲花中学校考阶段练习）设全集为U，在下列条件中，是BA的充要条件的有（）A．ABAB．ðUABC．ðUAðUBD．AðUBU【答案】ABCD【详解】对于A，若ABA，则BA；反过来，若BA，则ABA，故互为充要条件，故正确；对于B，如下Venn图，若ðUAB，则BA，若BA，则ðUAB，故正确；选项C中，若ðUAðUB，则BA；反过来，若BA，则ðUAðUB，故互为充要条件，故正确；选项D中，若AðUBU，则ðUAðUB，故BA；反过来，若BA，则ðUAðUB，故AðUBU，故互为充要条件，故正确.故选：ABCD.三、解答题8．（2023春·四川泸州·高一四川省泸县第一中学校考开学考试）设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3].【详解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}∴A∩B={x|1≤x＜5}，（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，∴C⊆B，当C=∅时，2m1m1解得m2m1＜2m1当C≠∅时，由C⊆B得m11，解得：2＜m≤32m15综上所述：m的取值范围是（-∞，3]9．（2022秋·辽宁沈阳·高一沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）已知集合Ax2a3x4a，Bx3x16．(1)若a2，求AB，ðRAðRB；(2)若ABA，求a的取值范围．【答案】(1)4,8，,48,5(2),．4【详解】（1）由题意得：B4,5；a2A1,8AB4,8,(ðRA)(ðRB)ðR(AB),48,.（2）ABAABA或A1当A时，2a34aa;21当A时，2a34aa；27a2a342515aa,4a55424a455则aa,.44