专题03 奇函数的最值性质（解析版）

专题03奇函数的最值性质一、结论①已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数,则对任意的xD,都有f(x)f(x)0.②特别地,若奇函数f(x)在D上有最值,则f(x)maxf(x)min0;③若0D，则有f(0)0.（若f(x)是奇函数，且0Df(0)0，特别提醒反之不成立）二、典型例题（高考真题+高考模拟）axax例题1．（2023·新疆·高一乌鲁木齐市第70中校考）已知函数f(x)8(a0,a1)在区间a,b2上的最小值为10，则函数f(x)在区间b,a上的最大值为（）A．10B．26C．10D．与a有关【答案】Baxax【详解】f(x)8(a0,a1)，yax与yax单调性相同，2f(x)在区间a,b，区间b,a上均为单调函数，axax又g(x)(a0,a1)，满足g(x)g(x)，即g(x)为奇函数，2axaxf(x)8(a0,a1)在区间a,b上的最小值为10，2axaxg(x)(a0,a1)在区间a,b上的最小值为10818，2g(x)在区间b,a上的最大值为18，函数f(x)在区间b,a上的最大值为18826.故选：Baxax【反思】本题中f(x)8(a0,a1)的奇偶性未知，但是通过观察，可以发现，可以进行构造函2数，即构造gxfx8，这样，gx为奇函数，从而可以得到g(x)maxg(x)min0，将gxfx8axax代入奇函数性质，得到f(x)8f(x)80，进而将f(x)8(a0,a1)的最小值为10maxmin2代入，得到f(x)max81080f(x)max26.例题2．（2023·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于x的函数5x3tx23xsinxt2fx在2022,2022上的最大值为M，最小值N，且MN2022，则实数t的x2t值是（）A．674B．1011C．2022D．4044【答案】B235x3tx23xsinxt2txt5x3xsinx5x33xsinx【详解】fxt，x2022,2022，x2tx2tx2t5x33xsinx∴令gx，x2022,2022，则fxgxt，x2t5(x)33(x)sin(x)5x33xsinxgx定义域关于原点对称，且gxg(x)，(x)2tx2t所以gx为奇函数，gxgx0∴maxmin（奇函数的性质），MNf(x)f(x)gxtgxt2022∴maxminmaxmin，∴2t2022，即t1011.故选：B5x3tx23xsinxt2【反思】本题中f(x)的奇偶性未知，需要对函数fx进行化简，通过化简f(x)x2t5x33xsinx为：fxt，从而发现f(x)是非奇非偶函数，但是通过观察，可以发现，可以进行构造x2t函数，即构造gxfxt，这样，gx为奇函数，从而可以得到g(x)maxg(x)min0，将gxfxt代入奇函数性质，得到f(x)maxtf(x)mint0，进而将MN2022代入，得到2022MN2t，从而得到t1011。1例题3．（2023·山西运城·高三校考阶段练习）已知函数fx是奇函数，则a__________.exaex【答案】111【详解】因为fx，故fx，exaexexaex因为fx为奇函数，11故fxfxexaexexaexxxexaexexaexa1ee0，exaexexaexexaexexaex即a1exex0，故a1.故答案为：1.【反思】在本例中，由于f(x)是奇函数，但定义域未知，也就无法确定定义域中是否含0，所以无法直接利用奇函数性质f(0)0求解，这样可能造成错解，所以本题需利用奇函数性质f(x)f(x)0来求解.6例题4．（2023·上海闵行·高一校考）已知函数f(x)1是定义在R上的奇函数.ax1a(1)求实数a的值；【答案】(1)36【详解】（1）因为函数f(x)1是定义在R上的奇函数，所以f(0)0，ax1a662即10，解得：a3，此时f(x)11，aa3x133x122223x故对于任意的xR，有f(x)f(x)220，3x13x13x13x1即函数f(x)是R上的奇函数，所以实数a的值为3.【反思】在本例中，由于f(x)是奇函数，并且定义域为R，所以可以直接利用奇函数性质f(0)0求解三、针对训练举一反三一、单选题1．（2023·云南西双版纳·高一西双版纳州第一中学校考）设函数fxx52x33x1在区间2021,2021的最大值是M，最小值为m，则Mm（）A．0B．2C．1D．3【答案】B【详解】令gxfx1x52x33x，则函数g(x)为奇函数，g(x)在区间2021,2021上的最大值与最小值之和为0，即M1m10，Mm2．故选：B.2．（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌市八中校考）若奇函数fx在区间[3,1]上单调递减，且最小值为5，则fx在区间1，3上（）A．单调递增且有最大值5B．单调递增且有最小值5C．单调递减且有最大值5D．单调递减且有最小值5【答案】C【详解】因为函数fx在区间[3,1]上单调递减，且最小值为5，所以f15，因为fx为奇函数，所以fx在1，3上单调递减，所以fx在1，3上的最大值为f1f15，故选：C33．（2023·云南楚雄·高三统考）已知奇函数fxaxbax在1,1上的最大值为，则a（）211A．或3B．或2C．2D．332【答案】B【详解】由已知可得，fxaxbax.因为fx是奇函数，所以fxfx，所以fxfx0，即b1axax0，解得b=-1，即fxaxax.x1xx1当a1时，则01，所以函数ya在1,1上单调递增，函数ya在1,1上单调递减，所aa以函数yax在1,1上单调递增，所以函数fxaxax在1,1上单调递增.所以fxaxax在31x1处有最大值，所以f1aa1，整理可得2a23a20，解得a2或a（舍去），所以a2；22同理，当0a1时，函数fxaxax在1,1上单调递减，所以fxaxax在x=1处有最大值，所311以f1a1a，整理可得2a23a20，解得a或a2（舍去），所以a.2221综上所述，a2或a.2故选：B.gxcos2x3．（山东淄博高三校联考阶段练习）函数fxkxk0与函数的图象交于不同的42023··lg3x3x两点A，B.若点Dm,n满足DADB2，则mn的最大值是（）A．2B．22C．3D．23【答案】A【详解】因为fxkxk0是一次函数，且函数图象过原点，所以fxkxk0的图象关于原点对称，为奇函数，gxcos2x3函数的定义域为3,00,3，关于原点对称，lg3x3xcos2x3gxcos2x3cos2x3gx3x13x，所以函数ygx为奇函数，函数ygx的图lglg3xlg3x3x3x象关于原点对称.gxcos2x3又因为函数fxkxk0与函数的图象交于不同的两点和，lg3xAB3x所以A和B关于原点对称，设Ax0,y0，则Bx0,y0，Dm,n因为，所以DAx0m,y0n，DBx0m,y0n，所以DADB2m,2n，22因为DADB2，所以2m2n2，即m2n21，2因为mnm2n22mn12mn1m2n22，所以mn2，2当且仅当mn时等号成立.2故选：A.x5．（2022秋·广东珠海·高一珠海市第一中学校考期中）已知fx2(常数ab0)在0,上有最ax4b大值M3，若fx的最小值为N，则MN（）A．0B．3C．4D．5【答案】Cx【详解】令gxfx2xR，g0f020，ax4bx所以gxfx2gx，所以gx为奇函数，ax4b因为fx在0,上有最大值M3，所以gx在0,上有最大值1，所以gx在,0上有最小值1，即fx2在,0上有最小值1，所以fx在,0上有最小值1，即N1，则MN4.故选：C.6．（2022·上海·高三统考学业考试）已知函数f(x)xln(x21x)5x2016,2016的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝（）A．－10B．10C．5D．－5【答案】A【详解】设g(x)f(x)5xln(x21x)，则g(x)g(x)xln(x21x)xln(x21x)ln(x21x)(x21x)ln10∴g(x)g(x)，g(x)是奇函数，因此g(x)ming(x)max0，又g(x)minf(x)min5m5，g(x)maxf(x)max5M5，∴g(x)ming(x)maxM5m50，Mm10．故选：A．7．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知函数fxln1x2x5,x2020,2020的最大值为M，最小值为m，则Mm（）A．5B．10C．5D．10【答案】B【详解】设gxfx5ln1x2x，则gxgxln1x2xln1x2xln1x2x1x2xln10，∴gxgx，gx是奇函数，gxfx5m5gxfx5M5又minmin，maxmax，gxgxM5m50∴minmax，Mm10．故选：B．x8．（2022秋·山东临沂·高一校考阶段练习）已知函数fx1在2022,2022上的最大值和最小值x21分别为M，N，则MN（）A．2B．1C．0D．2【答案】Dxx【详解】fx1，则fx1，x21x21x令gxfx1，定义域为2022,2022，x21xxgxgx则22，故gx为奇函数，x1x1gxgx0所以maxmin，fx1fx10即maxmin，故MN2.故选：D9．（2022秋·河北石家庄·高一石家庄精英中学校考阶段练习）若函数yfx是定义在R上的奇函数，且函数Fxafxbx5在0,上有最大值12，则函数yFx在,0上有（）A．最小