专题01 导数的运算(解析版)

2023-11-18 · 5页 · 34 K

专题01 导数的运算1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f′(x)=0f(x)=xα(α∈Q,α≠0)f′(x)=αxα-1f(x)=sinxf′(x)=cosxf(x)=cosxf′(x)=-sinxf(x)=ax(a>0且a≠1)f′(x)=axlnaf(x)=exf′(x)=exf(x)=logax(a>0且a≠1)f′(x)=eq\f(1,xlna)f(x)=lnxf′(x)=eq\f(1,x)2.导数运算法则若f′(x),g′(x)存在,则有[cf(x)]′=cf′(x);[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),g(x))))′=eq\f(f′(x)g(x)-f(x)g′(x),[g(x)]2)(g(x)≠0);3.复合函数的定义及其导数(1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)).(2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y′x=y′u·u′x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则:先化简、再求导;具体方法:(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导;(2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导;(3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导;(4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导;(5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导;(6)复合函数:由外向内,层层求导.【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数:(1)y=x2sinx;(2)y=eq\f(cosx,ex);(3)y=xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)));(4)y=ln(2x-5).解析 (1)y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.(2)y′=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosx,ex)))′=eq\f((cosx)′ex-cosx(ex)′,(ex)2)=-eq\f(sinx+cosx,ex).(3)∵y=xsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,2)))=eq\f(1,2)xsin(4x+π)=-eq\f(1,2)xsin4x,∴y′=-eq\f(1,2)sin4x-eq\f(1,2)x·4cos4x=-eq\f(1,2)sin4x-2xcos4x.(4)令u=2x-5,y=lnu.则y′=(lnu)′u′=eq\f(1,2x-5)·2=eq\f(2,2x-5),即y′=eq\f(2,2x-5).[例2] (1)(2020·全国Ⅲ)设函数f(x)=eq\f(ex,x+a).若f′(1)=eq\f(e,4),则a=________.答案 1 解析 f′(x)=eq\f(ex(x+a)-ex,(x+a)2)=eq\f(ex(x+a-1),(x+a)2),则f′(1)=eq\f(ae,(a+1)2)=eq\f(e,4),整理可得a2-2a+1=0,解得a=1.(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=2x2-3xf′(1)+lnx,则f(1)=.答案 -eq\f(7,4) 解析 ∵f(x)=2x2-3xf′(1)+lnx,∴f′(x)=4x-3f′(1)+eq\f(1,x),将x=1代入,得f′(1)=4-3f′(1)+1,得f′(1)=eq\f(5,4).∴f(x)=2x2-eq\f(15,4)x+lnx,∴f(1)=2-eq\f(15,4)=-eq\f(7,4).(3)已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N*,则f2022(x)等于( )A.-sinx-cosx B.sinx-cosx C.-sinx+cosx D.sinx+cosx答案 C 解析 ∵f1(x)=sinx+cosx,∴f2(x)=f1′(x)=cosx-sinx,f3(x)=f2′(x)=-sinx-cosx,f4(x)=f3′(x)=-cosx+sinx,f5(x)=f4′(x)=sinx+cosx,∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现,∵2022=4×505+2,∴f2022(x)=f2(x)=cosx-sinx.故选C.(4)(多选)给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f′(x)存在,且导函数f′(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f′(x))′,若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是凸函数的是( )A.f(x)=sinx+cosx B.f(x)=lnx-2x C.f(x)=x3+2x-1 D.f(x)=xex答案 AB 解析 对于A:f′(x)=cosx-sinx,f″(x)=-sinx-cosx,∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))),∴f″(x)<0,f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是凸函数,故A正确.对于B:f′(x)=eq\f(1,x)-2,f″(x)=-eq\f(1,x2)<0,故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上是凸函数,故B正确;对于C:f′(x)=3x2+2,f″(x)=6x>0,故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上不是凸函数,故C错误;对于D:f′(x)=(x+1)ex,f″(x)=(x+2)ex>0,故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))上不是凸函数,故D错误.故选AB.(5)已知f(x)的导函数为f′(x),若满足xf′(x)-f(x)=x2+x,且f(1)≥1,则f(x)的解析式可能是( )A.x2-xlnx+x B.x2-xlnx-x C.x2+xlnx+x D.x2+2xlnx+x答案 C 解析 由选项知f(x)的定义域为(0,+∞),由题意得eq\f(xf′(x)-f(x),x2)=1+eq\f(1,x),即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f(x),x)))′=1+eq\f(1,x),故eq\f(f(x),x)=x+lnx+c(c为待定常数),即f(x)=x2+(lnx+c)x.又f(1)≥1,则c≥0,故选C.【对点训练】1.下列求导运算正确的是( )A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))′=1+eq\f(1,x2) B.(log2x)′=eq\f(1,xln2) C.(5x)′=5xlog5x D.(x2cosx)′=-2xsinx1.答案 B 解析 (log2x)′=eq\f(1,xln2),故B正确.2.函数y=xcosx-sinx的导数为( )A.xsinx B.-xsinx C.xcosx D.-xcosx2.答案 B 解析 y′=x′cosx+x(cosx)′-(sinx)′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.3.(多选)下列求导运算正确的是( )A.(sina)′=cosa(a为常数) B.(sin2x)′=2cos2xC.(eq\r(x))′=eq\f(1,2\r(x)) D.(ex-lnx+2x2)′=ex-eq\f(1,x)+4x3.答案 BCD 解析 ∵a为常数,∴sina为常数,∴(sina)′=0,故A错误.由导数公式及运算法则知B,C,D正确,故选BCD.4.已知函数f(x)=eq\f(sinx,cosx)+eq\f(1,x2),则f′(x)=.4.答案 eq\f(1,cos2x)-eq\f(2,x3) 解析 f′(x)=eq\f((sinx)′·cosx-sinx·(cosx)′,cos2x)+(x-2)′=eq\f(cos2x+sin2x,cos2x)+(-2)x-3=eq\f(1,cos2x)-eq\f(2,x3).5.已知函数f(x)的导函数为f′(x),记f1(x)=f′(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x)(n∈N*),若f(x)=xsinx,则f2019(x)+f2021(x)=( )A.-2cosx B.-2sinx C.2cosx D.2sinx5.答案 D 解析 由题意,f(x)=xsinx,f1(x)=f′(x)=sinx+xcosx,f2(x)=f′1(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,f3(x)=f′2(x)=-3sinx-xcosx,f4(x)=f′3(x)=-4cosx+xsinx,f5(x)=f′4(x)=5sinx+xcosx,…,据此可知f2019(x)=-2019sinx-xcosx,f2021(x)=2021sinx+xcosx,所以f2019(x)+f2021(x)=2sinx,故选D.6.f(x)=x(2021+lnx),若f′(x0)=2022,则x0等于( )A.e2 B.1 C.ln2 D.e6.答案 B 解析 f′(x)=2021+lnx+x×eq\f(1,x)=2022+lnx,又f′(x0)=2022,得2022+lnx0=2022,则lnx0=0,解得x0=1.7.已知函数f(x)=eq\f(1,ax-1)+excosx,若f′(0)=-1,则a=.7.答案 2 解析 f′(x)=eq\f(-(ax-1)′,(ax-1)2)+excosx-exsinx=eq\f(-a,(ax-1)2)+excosx-exsinx,∴f′(0)=-a+1=-1,则a=2.8.已知函数f(x)=ln(2x-3)+axe-x,若f′(2)=1,则a=.8.答案 e2 解析 f′(x)=eq\f(1,2x-3)·(2x-3)′+ae-x+ax·(e-x)′=eq\f(2,2x-3)+ae-x-axe-x,∴f′(2)=2+ae-2-2ae-2=2-ae-2=1,则a=e2.9.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,则f′(2)的值等于( )A.-2 B.2 C.-eq\f(9,4) D.eq\f(9,4)9.答

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