仿真卷03（解析版）

绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分仿真卷03本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合的子集个数为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，集合中有个元素，∴集合有，故选C。2．（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，故选D。3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：，，，，，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等。下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】由斐波那契数可知，从第项起，每一个数都是前面两个数的和，∴接下来的底面半径是，对应的弧长是，设圆锥的底面半径为，∴，解得，故选C。4．已知某工艺品的加工需要先由普通技师完成粗加工，再由高级技师完成精加工。其中粗加工要完成、、、四道工序且不分顺序，精加工要完成、、三道工序且为的前一道工序，则完成该工艺不同的方法有（）。A、种B、种C、种D、种【答案】A【解析】由题意可知粗加工的四道工序不分顺序，∴共有种不同的方法，精加工中为的前一道工序，∴在前且相邻，∴精加工共有种不同的方法，∴完成该工艺共有种不同的方法，故选A。5．函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】由函数图像可知，函数图像关于轴对称，可得是偶函数，由于，A选项错误，当时，，∴，当时，即时，取得最小值，与图中最小值矛盾，C选项错误，又∵过，而D中，时，，D选项错误，故选B。6．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了个小球，其中个是白球，个是黑球，用两种方法让同学们来摸球。方法一：在个箱中各任意摸出一个小球；方法二：在个箱中各任意摸出两个小球。将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则（）。A、B、C、D、以上三种情况都有可能【答案】A【解析】根据题意，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，∴没有抽到黑球的概率为，∴至少能摸出一个黑球的概率，按方法二抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，∴没有抽到黑球的概率为，∴至少能摸出一个黑球的概率，∴有，∴，故选A。7．已知长方体中，，，是上任意一点（不是端点），是的中点，则异面直线与所成角的正切值的最小值为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】如图所示，取的中点，连接、，易知，∴就是异面直线与所成的角，在长方体中，∵、分别为、的中点，∴平面，又平面，∴，在中，∵，当取得最小值时，有最小值，在中，∵、，∴，过作，垂足为，∴，当时，取得最小值，∵是中点，∴，∴，即异面直线与所成角的正切值的最小值为，故选A。8．设函数是函数（）的导函数，已知，且，，，则使得成立的的取值范围是（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】令，∴，又∵，，∴在上单调递减，∵，即导函数关于对称，∵，∴函数是中心对称图形，且对称中心，∵，∴点关于点的对称点也在函数上，∴，而不等式，即，即，∴，∴使得不等式成立的的取值范围是，故选C。二、多选题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．若、，则使成立的充要条件是（）。A、B、C、D、【答案】ABD【解析】A选项，当、时，等价为，∴是的充要条件，对，B选项，∵，，∴成立，∴是的充要条件，对，C选项，由得，即，不是等价条件，错，D选项，若，∴，∴成立，若得，∴成立，是充要条件，对，故选ABD。10．设的内角、、所对边的长分别为、、，下列命题正确的是（）。A、若，则B、若，则C、若，则D、若，则【答案】AC【解析】A选项，，可以得出，∴，对，B选项，，，错，C选项，若，则，与矛盾，∴，对，D选项，取，满足，，错，故选AC。11．已知是递增数列，且，则关于数列，对任意的正整数、，下列结论可能成立的是（）。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】A选项，由得：，取，易知数列满足条件，可能成立，B选项，由得：，取，易知数列满足条件，可能成立，C选项，由得：，取，易知数列满足条件，可能成立，D选项，，令得：，令、得：，令得：，令、得：，∴，即，∴与是递增数列矛盾，不可能成立，故选ABC。12．画法几何的创始人—法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆。已知椭圆：（）的离心率为，已知、分别为椭圆的左、右焦点，、为椭圆上两个动点。直线的方程为。则下列说法正确的是（）。A、的蒙日圆的方程为B、对直线上任意点，C、记点到直线的距离为，则的最小值为D、若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为【答案】AD【解析】，∴，，∴，A选项，当两条垂直切线与坐标轴平行时两切线交点坐标为，∴其所在圆为，对，B选项，直线恒过点，由A选项可知，在蒙日圆上，若过作椭圆两切线，取、恰为两切点时，，∴当在处，存在，错，C选项，∵在椭圆上，∴，∴，当∴，即为过作的垂线与椭圆的交点时有最小值，即到的垂直距离，∴，错，D选项，当矩形四边都与相切时，矩形为蒙日圆内接矩形且矩形两条对角线为直径，设矩形长与宽为、，∴，∴，对，故选AD。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知，若，且与夹角为，则。【答案】【解析】由倍半角公式可得：，∴，题意由，且与夹角为，得，即，又，∴。14．已知圆柱的高为，它的两个底面在半径为的同一个球的球面上，那么这个圆柱的侧面积为。【答案】【解析】由题设可知，圆柱的高、底面圆周直径、球直径组成以球直径为斜边的直角三角形，由勾股定理可得，，∴这个圆柱的侧面积为。15．若对任意的，都有成立，其中，则。【答案】【解析】∵，∴∴，解得，∴。16．抛物线：（）的焦点为，准线为，上点在上的射影为，与轴相交于点，与相交于点，则，。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】或【解析】如图所示，由得，，由图可知，为的中点，∵，∴是线段的中线，∴≌，∴，∵，∴，设，∴，∴或，当时，，∴，当时，，∴。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答。①；②；③。已知的内角、、的对应边分别为、、，。（1）求；（2）若、，求的面积。注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分。【解析】（1）选择条件①，在中，，由题意及正弦定理可得：，2分即，即，4分∵，∴，即，∵，∴；6分选择条件②，在中，，由题意及正弦定理可得，即，2分即，4分∴，∵，∴，∵，∴；6分选择条件③，在中，，∵，2分∴，即，∴，4分∵，∴，∵，∴；6分（2）∵、，由余弦定理可得，即，∴，9分∴。10分18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且，。数列是公差大于的等差数列，，且、、成等比数列。（1）求数列和的通项公式；（2）若，求。【解析】（1）∵，①可得时，，②，①﹣②可得，即为，由时，，可得，∴是首项为，公比为的等比数列，∴，4分设数列是公差大于的等差数列，，由、、成等比数列，可得，即为，解得，，∴；8分（2），，10分两式相减可得，∴。12分19．（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，直线、、两两互相垂直，点在棱上，且，。（1）证明：且；（2）求直线与平面所成角的正弦值。【解析】（1）证明：∵，，，、平面，∴平面，又平面，∴，2分又∵，，、平面，∴平面，又平面，∴，4分∵，∴，由题意可得，∴，∴，∴；6分（2）解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，∴、，∴、、、、，∴、、，8分设平面的法向量为，∴，令，∴、，∴，10分设直线与平面所成的角为，∴，∴直线与平面所成角的正弦值为。12分20．（本小题满分12分）国家发展改革委、住房城乡建设部于年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定个城市在年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达以上。截至年底，这个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近。武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的个社区中随机抽取个社区，对这个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过吨/天的确定为“超标”社区：垃圾量频数（1）通过频数分布表估算出这个社区这一天垃圾量的平均值（精确到）；（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，近似为样本方差，经计算得。请利用正态分布知识估计这个社区中“超标”社区的个数。（3）通过研究样本原始数据发现，抽取的个社区中这一天共有个“超标”社区，市政府决定对这个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查。现计划在这个“超标”社区中任取个先进行跟踪调查，设为抽到的这一天的垃圾量至少为吨的社区个数，求的分布列与数学期望。参考数据：，，。【解析】（1）由频数分布表得：，∴这个社区这一天垃圾量的平均值为吨；3分（2）∵，∵，∴，∴，5分∵，∴这个社区中超标社区的个数为；7分（3）由频数分布表：个超标社区中这一天的垃圾量至少为吨的社区有个，∴的可能取值为、、、，∴，，，，10分∴的分布列为：∴数学期望。12分21．（本小题满分12分）如图所示，直线：，抛物线：（），已知点在抛物线上。（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线、、的斜率分为、、，求证：。【解析】（1）抛物线：（），已知点在抛物线上，可得，解得，即抛物线的方程标准为；3分（2）证明：由题意可设的斜率为，∴直线的方程为，4分联立得：，恒成立，5分设、，∴，，6分∴，同理可得，7分∴，9分由得：，，∴，11分∴。12分22．（本小题满分12分）已知函数（）。（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求整数的最大值。（参考数据：，）【解析】（1）的定义域是，，1分①当时，令，解得，令，解得，∴的单调递减区间为，单调递增区间为，2分②当时，无单调区间，3分③当时，令，得，令，得，∴的递增区间是，单调递减区间是，4分综上所述，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，无单调区间，当时，的递增区间是，单调递减区间是；5分（2）即为，得，∵，∴同乘以，得，又，∴在上恒成立，6分令（），∴，令，∵与在上均单调递增，7分∴在上单调递增，且，，∴，使得，此时，9分∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，11分∵在上恒成立，∴，∴整数的最大值是。12分