仿真卷04（参考答案）

仿真卷04一、单选题：12345678BACCDBAD二、多选题：9101112ABCBCDABDAD三、填空题：13141516四、解答题：17．解：（1）∵，，∴，1分由题意得，∴，又，3分∴是首项为、公比为的等比数列，4分（2）由（1），∴，5分∴，7分∴，9分∴，即、、成等差数列。10分18．解：（1）∵的最小正周期为，∴，∴，2分∵的图像是由的图像向右平移个单位得到的，∴，4分令，，得的对称轴方程为，，5分要使直线（）与轴距离最近，则须最小，∴，此时对称轴方程为；6分（2）由已知得：，令得：，，即，，8分∵在上有且仅有一个零点，∴，∵，∴，∴，11分解得：，∵，∴，∴。12分19．解：（1）在长方体中，以为原点建立空间直角坐标系，设，1分则、、、、、、、、、，3分∴，、，∴、，∴、，又，平面，∴平面；5分（2）设，设，则，∴、，，∴，又，∴，6分∵，，∴，解得，∴，8分∴、、，设平面的法向量为，则，即，则，令，解得，则，10分设直线与平面所成角的平面角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为。12分20．解：（1）由题意知，解得，1分样本平均数为，2分中位数为，众数为；3分（2）由题意，从中抽取人，从中抽取人，4分随机变量可取、、、，∴、、、，7分∴的分布列为：∴数学期望；9分（3）样本中男生人，女生人属于“高分选手”的人，其中女生人，得出以下列联表：属于“高分选手”不属于“高分选手”合计男生女生合计∴，∴有的把握认为该校学生属于“高分选手”与性别有关。12分21．解：（1）设椭圆的半焦距为，设点，则且，1分消去得：，即①，2分∵椭圆的离心率等于，∴，即②，3分将②代入①得：，化简得：，4分解得：，∴，，∴椭圆的标准方程为；5分（2）将代入抛物线：中，得，解得（取正值），则、，当与关于直线对称时，、的斜率之和为，6分设直线的斜率为，则的斜率为，设、，设直线的方程为，7分联立得：，∴，9分设的直线方程为，同理得：，10分∴，，11分则，∴直线的斜率为定值。12分22．解：（1）的定义域为，，令，解得、，1分当，即时，舍去，在单调递减，在单调递增，2分当，即时，当时，，恒成立，在单调递增，当时，，在单调递增，在单调递减，在单调递增，当时，，在单调递增，在单调递减，在单调递增；5分（2）当时，在单调递增，不可能有两个零点，不符合题意，舍去，6分当时，只有一个零点，不符合题意，舍去，7分当时，在单调递减，在单调递增，且当时，当时，则只需，即，8分当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，则不可能有两个零点，不符合题意，舍去，9分当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增，且，则要使有两个零点，只能，由且得：，设，则，则，构造，则，当时，∴在单调递减，此时，则在内无解，不符合题意，舍去，11分综上所述，当时函数有两个零点。12分