2023年高考数学必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷03（解析版）

2023年高考必做模拟卷—新高考Ⅱ考纲卷03一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若复数的模等于，其中为虚数单位，则实数的值为（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵则，，故选D。2．已知全集，集合，集合，则满足条件的集合的个数为（ ）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，、、、，∴集合的个数为，故选D。3．在一次国际学术会议上，来自四个国家的五位代表被安排在一张圆桌就座，为了使他们能够自由交谈，事先了解到的情况如下：甲是中国人，还会说英语；乙是法国人，还会说日语；丙是英国人，还会说法语；丁是日本人，还会说汉语；戊是法国人，还会说德语；则这五位代表的座位顺序应为（）。A、甲乙丙丁戊B、甲丁丙乙戊C、甲丙戊乙丁D、甲戊丙丁乙【答案】C【解析】戊是法国人，还会说德语，只能用法语交流，则两侧只能是乙和丙，乙旁边是丁，丙旁边是甲，故选C。4．函数（）的图像大致是（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】易得为奇函数，图像关于原点对称，故排除A，C，，显然存在，使得当时，，时，，即在上先增后减，排除D，故选B。5．下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图。其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为，且相邻的圆都相切，、、、是其中四个圆的圆心，则（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图所示，建立以、为一组基底的基向量，其中且、的夹角为，∴，，∴，故选B。6．已知数列满足，，则（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】由得，∴数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴，设的前项和为，则，两边同乘，得，两个式子相减得，∴，∴，故选D。7．过点作双曲线（，）的一条近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点，为坐标原点，若锐角三角形的面积为，则该双曲线的离心率为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】不妨设点在第一象限，如图，由题意知，∴是以为顶角的等腰三角形，∵是锐角三角形，∴，即有，进而，由与，得，∴，即，∴，解得（舍）或，∴，故选A。8．在底面是边长为的正方形的四棱锥中，点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为，则四棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意，四棱锥为正四棱锥，，如图所示：∵，∴异面直线与所成的角为，取中点，则，∴，∵，∴，∴四棱锥的表面积，四棱锥的体积为，∴四棱锥的内切球半径，设四棱锥外接球的球心为，外接球的半径为，则，∴，∴，∴，故选A。二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9．设，，则以下不等式中恒成立的是（）。A、B、C、D、【答案】ACD【解析】A选项，，则，一定成立，B选项，举反例，如取，时，左边为，右边为，不满足左边大于右边，不成立，C选项，，当时等号成立，一定成立，D选项，当时左边右边，当时左右两边都大于，比较它们平方即可，左右两边平方差为，则恒成立，故选ACD。10．已知三个正态分布密度函数（，、、）的图像如图所示，则下列结论正确的是（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】根据正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，∴，BC错误，又越小数据越集中，图像越瘦长，∴，AD正确，故选AD。11．如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，则（）。A、直线与的夹角为B、平面平面C、点到平面的距离为D、若正方体每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【答案】ABD【解析】A选项，连结、，则为直线与，∴为等边三角形，对，B选项，易得、，∴平面，∴平面平面，对，C选项，，又，∴点到平面的距离为，错，D选项，通过图像可知，对，故选ABD。12．已知函数，则以下结论正确的是（）。A、函数的单调减区间是B、函数有且只有个零点C、存在正实数，使得成立D、对任意两个正实数、，且，若，则【答案】ABD【解析】A选项，∵的定义域为，，令，解得，当时，，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，对，B选项，令，的定义域为，，恒成立，∴函数在上单调递减，又，，∴函数有且仅有一个零点，对，C选项，若，可得，令，的定义域为，则，令，的定义域为，则，令，解得，当时，，∴在上单调递减，当时，，∴在上单调递增，对，∴，∴恒成立，即函数在上单调递减，∴函数无最小值，∴不存在正实数，使得成立，错，D选项，令，则、，令，则，∴在上单调递减，则，即，令，由得，则，当时，显然成立，∴对任意两个正实数、，且，若则，对，故选ABD。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我校位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是________（结果用最简分数表示）。【答案】【解析】将位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类三个专业中的某一个专业，所有的不同分配方式有种，三个专业都有我校学生的情况有种不同分配方式，三个专业都有我校学生的概率：。14．已知的展开式中含与的项的系数的绝对值之比为，则的最小值为。【答案】【解析】的展开式中含项的系数为，含的项的系数为，则由题意得，即，则。15．设函数（，，，），将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为。若，，且的最小正周期大于，则，。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】【解析】将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），则，由题意可得，其中、，∴，、，又，∴，当时，，此时不存在满足题意的、，当时，，此时存在满足题意的、，∴，，，又，∴。16．锐角的内角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围为。【答案】【解析】由得，∴，又，即，∴，∴。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在中，、、分别是角、、的对边，。（1）求角的大小；（2）若，，求的面积。【解析】（1）在中，，∵，∴由正弦定理得：，1分∴，整理得，2分∴由余弦定理得：，3分又，∴；4分（2）∵，，∴，又，5分∴由余弦定理得：，解得，7分∴由正弦定理得：，∴，9分∴的面积为。10分18．（本小题满分12分）如图所示，在三棱台中，已知上底面、下底面均为正三角形，且，。（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小。【解析】解法一：（1）取的中点，连接，在三棱台中，∵，为的中点，∴，2分∴四边形是平行四边形，∴，，3分又，，∴，∴，∴，5分取的中点，连接，同理可得，又、是平面内的两条相交直线，∴平面；6分（2）由（1）易知平面，∴为直线与平面所成角的余角，8分在中，，，∴是等腰直角三角形，10分∴，∴直线与平面所成角的大小为。12分解法二：（1）延长、、，交于一点，如图，在三棱台中，易知，∴与相似，又，，∴，2分∴，∴，同理可得，4分又，、平面，∴平面，即平面；6分（2）如图，分别取、的中点、，连接、、，∵三棱台的上底面、下底面均为正三角形，∴，，∵平面，∴，又，∴平面，设点到平面的距离为，分别过点、作的垂线，垂足分别为、，则平面，平面，且，易知，则，得，8分以为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立的空间直角坐标系，9分如图所示，则、、、，∴，，，10分设平面的法向量为，则，即，令，得，，∴为平面的一个法向量，11分设直线与平面所成的角为，则，又，∴，即直线与平面所成角的大小为。12分19．（本小题满分12分）在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，。（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值。【解析】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，1分则，2分解得，，3分∴，；4分（2）由（1）得，故，5分当为奇数时，，随的增大而减小，∴，6分当为偶数时，，随的增大而增大，∴，7分令，，则，故在时为单调递增函数，9分故当为奇数时，，10分当为偶数时，，11分综上所述，的最大值为，最小值为。12分20．（本小题满分12分）为提升销量，某电商在其网店首页设置了一个“勇闯关，贏红包”的游戏小程序，其游戏规则如下：在网页上设置三个翻牌关卡，每个关卡翻牌结果只有两种：（通过）与（失败），若买家通过这三关，则认为闯关成功；若三关均未通过或只通过三关中的一关，则游戏失败；若三关中恰好通过两关，则允许参加复活环节。复活环节有两个翻牌关卡，若两关均通过，也认为闯关成功，否则认为闯关失败。假定买家每一关通过的概率均为，且各关卡之间是否通过相互独立。若闯关成功，则买家可赢得元的购物红包。若闯关失败，则可获得元红包，红包均可直抵在该网店购物的货款。某日有人参与了游戏且均在该网店消费。（1）求某买家参加这个游戏闯关成功的概率；（2）求该日所有买家所获红包总金额的数学期望；（3）假定该电商能从未中奖的买家的购物中平均获利元/人，从中奖的买家的购物中平均获利元/人（均不含所发红包在内）。试从数学期望的角度判断该电商这一日通过游戏搞促销活动是否合算，并说明理由。【解析】（1）买家通过三关的概率为，1分买家参加复活环节并闯关成功的概率为，2分∴买家闯关成功的概率；3分（2）由（1）可知，一名买家闯关成功的概率，设这名买家中闯关成功的人数为，则，且，5分∴的数学期望为，7分∴该日所有买家所获红包总金额的数学期望为：元；9分（3）设电商该日剔除红包款后盈利元，则元，11分由此可见，该电商该日通过游戏搞促销活动盈利较多，很合算。12分21．（本小题满分12分）已知过点的椭圆：（）的左、右焦点分别为、，为椭圆上的任意一点，且、、成等差数列。（1）求椭圆的标准方程；（2）直线：交椭圆于、两点，若点始终在以为直径的圆外，求实数的取值范围。【解析】（1）∵、、成等差数列，∴，1分由椭圆定义得，∴，2分又椭圆过点，焦点在轴上，则，3分∴，截得，，∴椭圆的标准方程为；4分（2）设、，联立方程，5分消去得：，恒成立，6分∴，，7分∴，8分又：恒过点，此点为椭圆的左顶点，∴，，∴，，9分由点始终在以为直径的圆外得为锐角，即，10分由，，∴，11分即，整理得：，截得或。12分22．（本小题满分12分）设函数，函数（）。（1）若函数图像的一条切线与直线平行，求该切线的方程；（2）若函数与的图像在轴右边有唯一公共点，证明：。【解析】（1）由题意可知、的定义域均为，设切点坐标为，∵，∴切线斜率，由平行得，2分构造函数，则，令，解得，当时，，∴在上单调递增，当时，，∴在上单调递减，4分又，，当时恒成立，∴在上为一一对应函数，∴有唯一一个解，∴切点的坐标为，切线斜率，∴该切线的方程为，即；6分（2）由已知可得在上有唯一解，即在上有唯一解，7分令（），则，令（），则，当时恒成立，∴函数单调递增，又，，8分∴在上存在唯一一个零点，且，，∴当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，∴时取极小值也是最小值，10分，又在上有唯一解，当时，，当时，，∴，∴。12分